如何平均复杂的响应（和理由）？

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

#1 楼

传递函数估计的实现通常与您描述的方法略有不同。

您的方法计算

$$ \ left \ langle \ frac {\ mathcal {F} [y] } {\ mathcal {F} [x]} \ right \ rangle $$

其中$ \ langle $尖括号$ \ rangle $代表对数据段的平均值，并且将开窗函数进行傅立叶变换（$ \ mathcal {F} $）之前的每个数据段。 br />
$$ \ frac {\ langle \ mathcal {F} [y] \ cdot \ mathcal {F} [x] ^ * \ rangle} {\ langle | \ mathcal {F} [x] | ^ 2 \ rangle} = \ frac {\ langle \ mathcal {F} [y] \ cdot \ mathcal {F} [x] ^ * \ rangle} {\ langle \ mathcal {F} [x] \ cdot \ mathcal { F} [x] ^ * \ rangle} $$

其中$ \ cdot $表示点积，而$ * $表示复共轭。

我相信这是减少$ \ mathcal {F} [x] $的bin太小的数据段的影响。

不连贯的估计

您的雇主建议您使用

$$ \ frac {| \ langle \ mathcal {F} [y] | \ rangle} { \ langle | \ mathcal {F} [x] | \ rangle} $$

这可以工作，但是有两个很大的缺点：


无法获得任何相位信息。
如果您对输入$ x $和输出$ y $的测量有任何其他噪声，则传递函数估计将不正确。

您的方法和我描述的方法通过使用相干平均来避免这些问题。

参考文献

使用重叠的平均段来计算功率谱密度的一般想法被称为韦尔奇方法。我相信使用它来估计传递函数的扩展通常也被称为Welch方法，尽管我不确定Welch的论文中是否提到了该方法。查找Welch的论文可能是有价值的资源。 Bendat和Piersol的书《随机数据：分析和测量程序》是一本有用的专论。

验证

要验证您的软件，我建议应用几个测试用例，其中您会产生高斯白噪声，并将其通过具有已知传递函数的数字滤波器馈入。将输入和输出输入到传递函数估计例程中，并验证估计是否收敛到传递函数的已知值。

#2 楼

欢迎使用信号处理！

您绝对正确。您不能简单地分别平均DFT幅度和相位，尤其是相位。这是一个简单的演示：

让$ z = a + bi $。根据定义，$ z $的大小$ | z | $和相位$ \角度z $为：

$$ | z | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} $$
$$ \ angle z = \ tan ^ {-1} \ left（\ frac {b} {a} \ right）$$

两个复数值$ z_1 $和$ z_2 $的平均$ z $为

$$ z = \ frac {z_1 + z_2} {2} = \ frac {a_1 + b_1i + a_2 + b_2i} {2} = \ frac {（a_1 + a_2）+（b_1 + b_2）i} {2} $$

在这种情况下，

$$ | z | = \ sqrt {\ frac {（a_1 + a_2）^ 2} {4} + \ frac {（b_1 + b_2）^ 2} {4}} = \ frac {1} {2} \ sqrt {（a_1 + a_2 ）^ 2 +（b_1 + b_2）^ 2} \ neq \ frac {\ sqrt {a_1 ^ 2 + b_1 ^ 2} + \ sqrt {a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2}} {2} $$

此外，

$$ \ angle z = \ frac {\ tan ^ {-1} \ left（\ frac {b_1} {a_1} \ right）+ \ tan ^ {- 1} \ left（\ frac {b_2} {a_2} \ right）} {2} \ neq \ tan ^ {-1} \ left（\ frac {2（b_1 + b_2）} {2（a_1 + a_2）} \ right）$$

如果比较这些不等式的程度，可以说$ | z | $的近似值是二次项，而$ \ angle z的近似值$完全没有意义。

现在，为了执行您要执行的操作，我建议以下内容。从理论上讲，您可以通过将输出的DFT除以输入的DFT来找到系统的脉冲响应。但是，在有噪音的情况下，您将得到非常奇怪的结果。更好的方法是使用双通道FFT脉冲响应估计，其估算方法如下（未提供推导，但您可以在线找到它）。

令$ G_i（f）= \ dfrac {F ^ 1_i（f）+ F ^ 2_i（f）+ \ cdots + F ^ N_i（f）} {N} $，其中$ F ^ k_i（f）$为第k个$ k $的DFT（因此，上标$ k $）开窗了输入信号的块（因此，下标$ i $用于输入）。类似地，对于输出信号，令$ G_o（f）= \ dfrac {F ^ 1_o（f）+ F ^ 2_o（f）+ \ cdots + F ^ N_o（f）} {N} $。您会看到$ G $信号只是窗口DFT的平均值。然后，脉冲响应$ H（f）$的统计双通道FFT近似值$ \ hat {H}（f）$由

$$ \ hat {H}（f）= \ frac {G_o（f）G_i ^ *（f）} {| G_i（f）| ^ 2} $$

其中$（\ cdot）^ * $表示复杂的共轭（翻转您所有虚构部分的符号）。

#3 楼

这是FFT频谱的相干和不相干平均之间的差异。相干平均更有可能拒绝分析中的随机噪声。不相干更有可能加剧随机噪声的幅度。以下哪一项对您的结果报告更重要？