不幸的是，作者并没有提供有关其解决方案的很多细节。这是他在锥平面交点上写的：
上面的扩散角和射线与平面之间的夹角
共同表明了中心线之间的距离如何
圆和半平面的边缘[sic]。给定该距离，使用多项式逼近计算相交的面积。
完成平面的相交计算。
，然后，在垂直于圆锥体
方向向量的平面上投影多边形之后， >
然后我们必须计算投影的多边形
和一个圆之间的交点。这可以通过计算从圆心到每个边缘的距离
，然后使用前面提到的
我在StackExchange上找到了解决问题的方法。我已经从NowIGetToLearnWhatAHeadIs的答案中移植了代码，它可以正常工作，但是对我来说似乎很复杂。我正在使用Compute Shaders，因此分支是一件坏事，解决方案在很大程度上依赖于它。
是否可以近似地解决这个问题，从而以可观的性能/简单的代码获得合理的结果（例如±10％）？
例如，使用GPU，我对优化的解决方案感兴趣，该解决方案在分支上使用最小/最大。也许这样的东西已经存在。有运气吗？
#1 楼
努力寻求确切的解决方案在我必须运行之前，请三思而后行。如果不计算圆切出的三角形的面积怎么办。相反，让我们计算一下它的逆。切出圆弧的三段区域。这种方法的优点在于，我们可以编写单个代码，然后重复三遍。当然，有时候答案是0，但没关系。
图像1：让我们计算一下这个问题。现在事实证明我们知道如何计算逆，这是一个圆的线段。因此，我们可以说$ A_ {int} = A_ {circle} -A_1-A_2-A_3 $。
图像2：我们知道此解决方案。
段面积的公式只是$ A_ {sector} -A_ {triangle} $，这在文学上有众所周知的解决方案。
因此，现在您要做的就是在以圆为中心的空间中找到边缘和圆之间的交点，计算它们之间的角度，然后计算每个线段。唯一的特殊情况是不存在交叉点。我不知道这是否很快，但是至少代码应该易于实现。
评论
$ \ begingroup $
我想可以用最接近的直线计算圆弧的大小，这将使它非常整洁。
$ \ endgroup $
– joojaa
16年7月15日在13:36
$ \ begingroup $
我喜欢这种方法的优雅。当其中一个顶点在三角形内时，是否需要特殊情况处理？好像可以算出该区域的一部分两次。
$ \ endgroup $
– trichoplax
16年7月16日在12:25
$ \ begingroup $
@joojaa的确可以使用矢状面来计算，甚至对此有一个近似公式（Harris and Stocker 1998）。参见mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html
$ \ endgroup $
– David Kuri
16年7月17日在15:33
$ \ begingroup $
@trichoplax的确，如果圆中至少有一个顶点，则此方法将失败，并且我不能保证不会。还在那里寻找不错的解决方案...
$ \ endgroup $
– David Kuri
16年7月17日在15:34
评论
您毫无疑问已经阅读了吗？您愿意接受16个样本的蒙特卡洛吗？