我知道其目的是使它具有自相关函数作为增量，但是我不确定如何精确地做到这一点。
这里的上下文如下：在两个不同的接收器处接收信号，并计算它们的互相关。互相关可以看起来像三角形，或其他不可思议的形状。因此，很难找到互相关信号的峰值。在这种情况下，我听说在对信号执行互相关之前必须先“变白”信号，这样互相关现在更像三角形。
如何完成？
谢谢！
#1 楼
假设您有信号$ x（t）$和$ y（t）$互相关函数$ R_ {x，y}（t）$不是您想要的；您希望$ R_ {x，y} $是冲动的。请注意，在频域中，$$ \ mathcal {F} [R_ {x，y}] = S_ {x，y}（f）= X（f）Y ^ *（f）。
因此您分别通过线性滤波器$ g $和$ h $对信号进行滤波，以得到
$ \ hat {x}（t）= x * g $，$ \ hat {X}（f） = X（f）G（f）$，并且$ \ hat {y} = y * h $，$ \ hat {Y}（f）= Y（f）H（f）$，现在它们互相关函数是
$ R _ {\ hat {x}，\ hat {y}} $，其傅里叶变换是
$$ \ begin {align *}
\ mathcal {F} [R_ { \ hat {x}，\ hat {y}}] = S _ {\ hat {x}，\ hat {y}}（f）＆= [X（f）G（f）] [Y（f）H（ f）] ^ * \\
＆= [X（f）Y ^ *（f）] [G（f）H ^ *（f）] \\＆= [X（f）Y ^ *（ f）] [G ^ *（f）H（f）] ^ *，
\ end {align *} $$
，即$ R _ {\ hat {x}，\ hat {y }} $是$ R_ {x，y} $与
$ R_ {h，g} $的互相关。更重要的是，您想选择$ g $和$ h $，以便
$ g $和$ h $的互谱密度$ G（f）H ^ *（f）$是可乘
$ x $和$ y $的互谱密度$ X（f）Y ^ *（f）$的倒数，或者
接近它的东西。如果您只有一个信号和一个滤波器，那么<br />您将得到希尔马给出的结果（经过我的评论对此进行了修正）。
无论哪种情况，补偿频谱零值的问题，或者通常，仍然保留信号能量很小的频带。
评论
$ \ begingroup $
感谢您的提出-您能在这里解释涉及的长度吗？例如，如果x [n]的长度为N，则X的功率传递函数的长度是多少？ （与y ...相同）
$ \ endgroup $
–太空
11年11月16日在19:06
$ \ begingroup $
好的-我会接受答案，但是今天晚上这个时候，我会写一个崭新的问题，我们可以从那里拿走。再次感谢。
$ \ endgroup $
–太空
11年11月16日在20:19
#2 楼
预白化可以通过使用传递函数进行滤波来完成，传递函数大约是信号功率谱的倒数。假设您的音频信号大致为粉红色。为了变白，您可以应用粉红色反滤波器（频率响应每倍频程增加3 dB）。但是，我不确定这是否对您有帮助。预白化趋向于放大信号中的低能量部分，这可能会产生噪声，因此会增加系统的整体噪声。如果您要确定两个信号是否按时间对齐（或按时间对齐），则问题中固有的模糊性与信号的带宽有关。这恰好以自相关函数的时域形状表示。
评论
$ \ begingroup $
感谢您的回答-是的，您所说的频谱反转在这里可能行不通...使用“增白剂”似乎无处不在，我倾向于认为除此以外还有很多其他方法吗？ ..
$ \ endgroup $
–太空
2011年11月11日19:22
#3 楼
给定示例数据集，通常存在一种简单的将矢量$ \ bf x $变白的方法。从您的问题尚不清楚$ \ bf x $的维数是否为2，或者是否包含滑动时间窗口。无论如何，您都想对$ \ bf x $的组件进行解相关。对于这样一个简单的问题，要在频域中做到这一点很困难。假设您从一个示例数据集开始，该数据集由数据矢量的样本组成-这可能是两个信号样本的集合在不同的时间。您减去数据集的均值，以便$ \ bf x $的均值为零。然后，您需要计算数据$ C_ {ij} = \ frac {1} {N} \ sum _ {{\ bf x} \ in Data} x_i x_j $的协方差矩阵，其中$ N $是数据示例的数量和$ i，j $是$ \ bf x $的分量的索引，如果有2个信号，则从0到1。在这种情况下，协方差矩阵将仅为2x2。
一旦有了这个协方差矩阵，就可以以矩阵的形式计算白化变换，以将数据相乘以获得白化版本。新的白色数据的协方差是恒等矩阵。
白色数据将是$ {\ bf y} = C ^ {-1/2} {\ bf x} $。这只是一个矩阵版本，用于计算示例数据集的方差，然后将任何新数据除以方差的平方根，以标准化其标准差。
您可以使用Cholesky分解来计算$ C ^ {-1/2} $，其中$ C = LL ^ T $。对于2x2矩阵，使用简单的代数非常容易。变白的数据由$ {\ bf y} = L ^ {-1} {\ bf x} $给出，由于$ L $是较低的三角形，可以由常见的求解器有效地计算，而无需形成反函数。
#4 楼
如果只是关于如何过滤信号中的低能量部分，您可以使用低通滤波器吗？如果这有帮助：Karjalaien等的这篇文章。 al是有关该滤波器使用的美白滤波器和扭曲线性预测的方法。
评论
请注意，在通信系统的上下文中，您的问题描述为增白剂实际上是在执行均衡器的功能。对我来说听起来是一样的。它可能只是不同的名称。是的，术语定义不明确，使他们有时会试图做的事情变得更加混乱。