Fred：嗨，我想购买移相器。
售货员：嗯，你到底是什么意思？
弗雷德：好吧，你知道，如果你放一个像$ x（t）= \ sin（\ omega_0t）$这样的正弦曲线，你会得到$ y（t） = \ sin（\ omega_0t- \ theta）$，对于任何$ \ omega_0 $。当然$ \ theta $必须是可调的。
店员：哦，我明白了。抱歉，不，我们没有这些。但是我记得其他人也需要同样的东西，他们总是购买一个希尔伯特变压器，几个乘法器和一个加法器，然后以某种方式将所有这些东西连接在一起，从而制成了可调移相器。
弗雷德：哦，是的，对！
弗雷德假装明白那个家伙在说什么。当然，他不知道该怎么做。他买了这个家伙说过的所有东西，然后他自己想，他可能会在家解决这个问题，或者其他所有失败的事情，都可以在DSP.SE上问到。
Fred怎样才能构建一个使用他在商店中获得的组件可调节相移$ \ theta $的移相器？
#1 楼
好问题！它使用我最喜欢的触发身份之一（也可以用来表明正交调制实际上是同时的幅度和相位调制）。$ \ sin（2 \ pi f_0t）$是$-\ cos（2 \ pi f_0t）$。此外，$$ \ sin（2 \ pi f_0t + \ theta）= a \ sin（2 \ pi f_0t）+ b \ cos（2 \ pi f_0t）$$（限于$ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ ），并带有$ \ theta = \ text {atan2}（b，a）$。这表明了一种可能的方法。假设弗雷德需要$ \ theta = 2.1 $弧度。他计算出$ \ tan（2.1）\ approx-1.71 $。然后，他需要找到$ a $和$ b $，使得$ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $和$ b / a = -1.71 $，且$ a <0 $和$ b> 0 $，是一个简单的代数问题。设置$ a_0 = -1 $，$ b_0 = 1.71 $，$ n = \ sqrt {a_0 ^ 2 + b_0 ^ 2} $，$ a = a_0 / n $和$ b = b_0 / n $。然后，弗雷德可以使用希尔伯特变压器，两个乘法器，两个直流电源（一个设为a $伏特，另一个设为$ -b $伏特）来轻松生成具有所需相位的正弦波，以照顾到余弦）和一个加法器。
上述系统的脉冲响应由下式给出：
$ a \ delta（t） + \ frac {b} {\ pi t} $
框图：
评论
$ \ begingroup $
我喜欢这一点，即使（或也许是因为）这与我所想的完全不同。还要注意，将常数$ a $和$ b $分别导出为$ \ cos \ theta $和$ \ sin \ theta $可能会容易一些。我会稍等一下，看看是否还有其他答案。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年6月18日在20:23
$ \ begingroup $
为了澄清起见，您可以添加整个系统的脉冲响应和/或频率响应吗？
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年6月18日在20:26
$ \ begingroup $
非常好的MBaz，这符合我的想法-本质上是“矢量调制器”，它是为此目的而购买的组件（作为一个应用程序）。但是，如果不能将HIlbert变压器作为真实组件购买，就不能将其限制为频带受限的（或者我想用户可以针对每个感兴趣的频带获得不同的变压器）。我现在很想看看Matt的解决方案是否有所不同，因为这是我能想到的全部。
$ \ endgroup $
–丹·博申（Dan Boschen）
16年6月18日在21:47
$ \ begingroup $
@MattL。我添加了脉冲响应。我也会画一个图并将其发布。关于$ a $和$ b $的计算的要点。
$ \ endgroup $
– MBaz
16 Jun 19'在1:50
$ \ begingroup $
@DanBoschen是的，我认为Hilbert变压器是理想的，对于这个难题，我认为可以。我也对看到Matt的替代解决方案感兴趣。
$ \ endgroup $
– MBaz
16年6月19日在1:51
#2 楼
MBaz的答案是正确的。我只想添加另一种思考方法，当然会得到相同的结果：具有相移$ \ theta $的理想移相器具有频率响应$$ H（\ omega）= \ begin {cases} e ^ {-j \ theta}，＆\ omega> 0 \\ e ^ {j \ theta}，＆\ omega <0 \ end {cases} $$可以是改写为$$ H（\ omega）= e ^ {-j \ theta \ text {sign}（\ omega）} = \ cos（\ theta）-j \，\ text {sign}（\ omega）\ sin（ \ theta）$$受过训练的眼睛将把$ G（\ omega）=-j \，\ text {sign}（\ omega）$识别为理想希尔伯特变压器的频率响应。相应的脉冲响应为$ g（t）= \ frac {1} {\ pi t} $。因此，理想移相器的脉冲响应为$$ h（t）= \ cos（\ theta）\ delta（t）+ \ sin（\ theta）\ frac {1} {\ pi t} $$可以实现为希尔伯特变压器和一块权重分别为$ \ sin（\ theta）$和$ \ cos（\ theta）$的电线的加权并联连接。
注意，在实际（离散时间）实现中，可以很好地近似该系统。只需要设计一个长度为$ 2N + 1 $的FIR线性相位Hilbert变压器，并在另一条信号路径上增加一个延迟$ N $的采样即可。
评论
$ \ begingroup $
很好的解释-我的时域解决方案的频域对应物。
$ \ endgroup $
– MBaz
16年6月19日在15:55
$ \ begingroup $
@MBaz：谢谢！比例因子$ \ sin（\ theta）$和$ \ cos（\ theta）$会自动弹出。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年6月19日在16:47
评论
太好了！请说明相位是否在所有频率上（在给定频段内）必须相同，或者恒定的任意延迟就足够了（给定频率，您可以建立相位，但是相位将随频率线性变化）。我想我都知道这两种情况的答案，但是要等几天，看看还会发生什么！您正在谈论的这家商店...就在希尔伯特饭店旁边，对吧？
在附近的商店中库存的唯一像样的希尔伯特变压器似乎具有这些巨大的输入到输出延迟。我确实在时间机器目录中看到一些更快的机器，但是该供应商的Yelp评论似乎得到了0星。
@DanBoschen：任何正弦输入都将移动$ \ theta $，而不考虑其频率。因此，每个频率的相位延迟都不同。
@ hotpaw2：不用理会那些星星，在它们被抢购一空之前迅速获得一颗星星吧！