$$
\ mathbf {J} =
\ begin {bmatrix}
\ hat {z_0} \ times （\ vec {o_6}-\ vec {o_0}）＆\ ldots和\ hat {z_5} \ times（\ vec {o_6}-\ vec {o_5}）\\
\ hat {z_0}＆\ ldots＆\ hat {z_5}
\ end {bmatrix}
$$
其中$ z_i $是关节$ i + 1 $的单位z轴（使用DH参数），$ o_i $是连接到关节$ i + 1 $的坐标系的原点，而$ o_6 $是末端执行器的原点。雅可比矩阵是笛卡尔速度矢量和关节速度矢量之间的关系：
$$
\ dot {\ mathbf {X}} =
\ begin {bmatrix}
\ dot {x} \\
\ dot {y} \\
\ dot {z} \\
\ dot {r_x} \\
\ dot {r_y} \ \
\ dot {r_z}
\ end {bmatrix}
=
\ mathbf {J}
\ begin {bmatrix}
\ dot {\ theta_1} \\
\ dot {\ theta_2} \\
\ dot {\ theta_3} \\
\ dot {\ theta_4} \\
\ dot {\ theta_5} \\
\ dot {\ theta_6} \\
\ end {bmatrix}
=
\ mathbf {J} \ dot {\ mathbf {\ Theta}}
$$
这是Staubli TX90XL 6DoF机器人的奇异位置：
$$
\ mathbf {J } =
\ begin {bmatrix}
-50＆-425＆-750＆0＆-100＆0 \\
0＆-562.92＆0＆0＆0＆0 \\
0＆0＆0＆ 0＆0＆0 \\
0＆1＆1＆0＆1＆0 \\
1＆0＆0＆-1＆0＆-1
\ end {bmatrix}
$$
您可以轻松地看到与$ \ dot {r_x} $对应的第四行全为零，这恰好是该位置失去的自由度。
然而，其他情况并非如此。
$$
\ begin {bmatrix}
-50＆-324.52＆-649.52＆0＆-86.603＆0 \\
987.92＆0＆0＆0＆0＆0 \\
0＆-937.92＆-375＆0＆- 50＆0 \\
0＆0＆0＆0.5＆0＆0.5 \\
0＆1＆1＆0＆1＆0 \\
1＆0＆0＆- 0.866＆0＆-0.866
\ end {bmatrix}
$$
在这里您可以清楚地看到关节4和关节6是对齐的，因为第4列和第6列是相同。但是尚不清楚哪个笛卡尔的自由度会丢失（它应该是围绕末端执行器x轴的红色旋转）。
在工作空间极限处的奇异性要简单得多。
$$
\ mathbf {J} =
\ begin {bmatrix}
-50＆650＆325＆0＆0＆0 \\
0＆-1225.8＆-662.92＆0＆-100＆0 \\
0＆0＆0＆0.86603＆0 ＆1 \\
0＆1＆1＆0＆1＆0 \\
1＆0＆0＆0.5＆0＆0
\ end {bmatrix}
$ $
在这种情况下，机器人可以旋转$ \ dot {-r_y} $，但不能旋转$ \ dot {+ r_y} $。没有充满零的行或相等的列，也没有任何明确的线性相关列/行。
有没有办法通过观察雅各派而确定失去了哪些自由度？
#1 楼
不仅通过查看雅可比行列，还通过查看雅可比行列式的奇异值分解，可以看到失去的自由度，如果失去的话。当然，从技术上讲，它某种程度上会找到空空间，但是我想它有点熟悉和容易。例如让Jacobian为：
$$ J =
\开始{bmatrix}
-50＆650＆325＆0＆0＆0 \\
0＆ -1225.8＆-662.92＆0＆-100＆0 \\
0＆0＆0＆0.86603＆0＆1 \\
0＆1＆1＆0＆1＆0 \\
1＆0＆0＆0＆0.5＆0＆0
\ end {bmatrix} $$
奇异值分解由
$ J = U \ Sigma V ^ T给出$，其中
$$ U = \ left [\ begin {matrix} -0.46＆0.01＆-0.89＆0.0＆0.0＆-0.02 \\\\ 0.03＆-1.0＆-0.03＆0.0 ＆0.0＆0.0 \\\\\ 0.89＆0.05＆-0.46＆0.0＆ 0.0＆-0.01 \\\\ 0.0＆0.0＆0.0＆-0.97＆0.24＆0.0 \\\\ 0.0＆0.0＆0.02＆-0.02＆-0.07＆-1.0 \\\\\ 0.0＆0.0＆0.0＆-0.24 ＆-0.97＆0.07 \ end {matrix} \ right] $$
$$ \ Sigma = \ left [\ begin {matrix} 1574.54＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0 \\\\ \ 0.0＆1277.15＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0＆\\\\ 0.0＆0.0＆50.59＆0.0＆0.0＆0.0 \ 0.0 \ 0.0＆0.0＆0.0＆1.36＆0.0＆0.0 \\\\\ 0.0＆0.0＆ 0.0＆0.0＆0.34＆0.0 \\\\ 0.0＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0＆0.0 \ 0.0 \ end {matrix} \ right] $$
$$ V ^ T = \ left [\ begin {matrix} 0.04＆-0.88＆-0.47＆0.0＆-0.06＆0.0 \\\\-1.0＆-0.04＆-0.02＆-0.04＆0.0＆0.0 \\\\ \ 0.0＆-0.24＆0.34＆-0.03＆0.91＆0.0 \\\\ 0.03＆0.01＆-0.01＆-0.7＆-0.02＆-0.72 \\\\ 0.03＆0.01＆-0.01＆-0.71＆-0.02＆ 0.7 \\\\ 0.0＆-0.41＆0.82＆0.0＆-0.41＆0.0 \ end {matrix} \ right] $$
现在，可以看到$ \的第六个奇异值Sigma $为零。因此，$ U $的对应（第六个）行是$$ \ left [\ begin {matrix} 0.0＆0.0＆0.0＆-0.24＆-0.97＆0.07 \ end {matrix} \ right] $$，奇异的方向。这意味着在Jacobian的这一刻，末端执行器无法朝这个方向移动。换句话说，关于矢量$ \ hat {n} =-0.24 \ hat {i} -0.97 \ hat {j} +0.07 \ hat {k} $的末端执行器的角速度$ω$是不可能的此时
$ V ^ T $的对应第（6）列为
$$ \ left [\ begin {matrix} 0.0 \\\\ 0.0 \\\\ 0.0 \\\-0.72 \\\\\ 0.7 \\\\ 0.0 \ end {matrix} \ right] $$，这是关节空间中上述奇点的方向，这意味着上述奇点是在末端当$ \ dot {\ theta_1} = 0，\ dot {\ theta_2} = 0，\ dot {\ theta_3} = 0，\ dot {\ theta_4} =-0.72 $个单位，$ \ dot {\ theta_5} = 0.7 $个单位和$ \ dot {\ theta_6} = 0 $。
#2 楼
您需要找到空空间，而不仅仅是查找零行或整列。我并不是说任何特定的jacobian的零空间，而是指给定闭合形式的Jacobian的所有奇异配置的解析空间。通常，这是由于万向节锁定（而不是无法访问的状态空间）而发生的。以封闭形式进行此操作非常非常困难。但是有时您可以稍微减少空间。