凹凸映射光线跟踪球体

我正在尝试将高度图应用于光线跟踪的球体。高度图存储为纹理。我在球体$ p $上有交点，并计算了该点的法线向量$ N = normalize（p-c）$，其中$ c $是球体的中心。

然后我将标准化的$ N $的分量与sqrt和几个atan2一起使用，以获取纹理坐标$ u $和$ v $（分别对应于球的经度和纬度。）

不幸的是，我还不太清楚如何从高度图上获得扰动的法线。这是到目前为止我得到的：

$ p ^ {'} = p + h（u，v）N $是高度图$ h $在归一化法线方向上所扰动的球体因此，根据定义，$ N $。

受扰动的法线是$ N ^ {'} = p ^ {'} _ u \ times p ^ {'} _ v $。

我的第一个问题是，我怎么知道法线指向球外？ （要正确地照亮球体，我确实需要指向外部的法线。）

我知道，最糟糕的是，我可以运行着色器并在看起来不对的情况下更改符号，但是我会我想从最初的原则中了解我应该如何订购叉积。我四处张望，找不到关于这一点的任何讨论。标量半径。将其代入扰动的高度图方程，我们得到

$ p ^ {'} = c + N（r + h）$，这很有意义：半径被高度扰动了。

区别在于，我们得到

$ p ^ {'} _ u = N_u（r + h）+ h_uN $和$ p ^ {'} _ v = N_v（r + h）+ h_vN $。

直接计算叉积，我们得到

$ N ^ {'} =（N_u（r + h）+ h_uN）\ times（N_v（r + h） + h_vN）$

$ N ^ {'} =（r + h）^ 2（N_u \ times N_v）+（r + h）（h_u（N \ times N_v）+ h_v（N_u \ times N））$

$ N ^ {'} =（r + h）（N_u \ times N_v）+ h_u（N \ times N_v）+ h_v（N_u \ times N）$

$ N ^ {'} =（r + h）N + h_u（N \ times N_v）+ h_v（N_u \ times N）$

（因为$ N \ times N = 0 $，所以公因子$（r + h）$将从标准化向量中消失，而$ N = N_u \ times N_v $。）

下一个我的问题是球的经度是不连续的（当您穿过子午线时，$ u $从1跳到0）；

最后的问题是，我没有看到如何计算$ N（u，v）$。我只是在这里空白。 （$ h_u $和$ h_v $很容易计算；它们只是纹理的派生。）


男孩我觉得很蠢。我只是使用球面到笛卡尔坐标来获得球面上的点，作为$ u $和$ v $的函数。这就是函数$ N（u，v）$。 D'oh。

我还有第一个问题要解决，在计算$ N $的导数后，我会发现奇点是否有任何问题（我怀疑不会有问题。 ）