我认为该定义也可能适用于信号，但随后我想到了以下示例：
考虑一个正弦波形式的信号和另一个余弦波形式的信号。如果我对它们都进行采样，则会得到两个向量。虽然正弦和余弦是正交函数，但采样矢量的乘积几乎永远不会为零，在t = 0时它们的互相关函数也不会消失。
那么，如何在此定义正交性案件？还是我的榜样不对？
#1 楼
如您所知，正交性取决于向量空间的内积。在您的问题中，您声明：正弦和余弦是正交函数...
这意味着您可能已经听说过函数空间的“标准”内部乘积：
$$ \ langle f，g \ rangle = \ int \ limits_ {x_1} ^ {x_2} f（x）g（x）\ \ mathrm { d} x $$
如果为单个周期的$ f（x）= \ cos（x）$和$ g（x）= \ sin（x）$求解此积分，则结果将是$ 0 $：它们是正交的。
但是，对这些信号进行采样与正交性无关。采样信号时获得的“向量”只是对您有意义的值：它们并不是严格的向量，它们只是数组（在编程s语中）。我们在MATLAB或任何其他编程语言中称它们为向量的事实可能会令人困惑。
这确实有些棘手，因为如果您有$ N，则可以定义维数为$ N $的向量空间。每个信号有$个采样，这些数组实际上是实际的矢量。但是这些定义了不同的东西。为简单起见，让我们假设我们在向量空间$ \ mathbb {R} ^ 3 $中，并且每个信号有$ 3 $个样本，它们都是真实的值。在第一种情况下，向量（即三个数字放在一起）将指向空间中的位置。在第二个中，它们指的是信号在三个不同时间到达的三个值。在此示例中，很容易发现差异。如果您有$ n $个样本，那么“空间”的概念将不太直观，但这个想法仍然成立。
简而言之，如果两个信号之间的内积（即两个信号）正交，则它们是正交的。 ，我在上面写的积分）是$ 0 $，通过对它们进行采样获得的向量/数组并没有告诉我们它们是正交的。
#2 楼
正交性的确是通过一个内积定义的，其中一个整数用于连续的序数时间变量，一个整数用于离散的时间变量。将两个（连续的）正交信号转换为离散的（常规）信号时采样，离散幅度），可能开窗（有限支持），可能会影响正交性。换句话说：离散时，两个正交的连续时间信号只能变为接近正交的信号。如果离散化足够精细，并且选择了合适的窗口，则在某些情况下（与周期性，频率有关），您将保持正交。
在连续设置中，函数空间是无限的，因此您有很多选择可以找到正交信号。在离散空间中，相互正交的信号的最大数量受到空间尺寸的限制。
#3 楼
您首先必须定义函数的内部产品。您不能只是彼此相乘。我自己不确定内积的属性，但是根据本讲课，内积必须是可交换的，线性的，并且函数本身应该是正定的。
函数内部产品的一种选择可能是，
$$
\ left \ langle f_1，f_2 \ right \ rangle = \ int_a ^ b f_1（x）\，f_2（x）\，\ mathrm {d} x，
$$
和$ a
评论
$ \ begingroup $
实际上，对于$ ba = \ frac {n} {f_0} $和$ k_1，k_2，$ sin（2 \ pi k_1 f_0 t）$和$ \ cos（2 \ pi k_2 f_0 t）$是正交的\ in \ mathbb {Z} $和$ n \ in \ mathbb {Z} $。那就是两个职能的基本时期。
$ \ endgroup $
–马克西米利安·马特（MaximilianMatthé）
17-2-2在13:20
$ \ begingroup $
内积不是线性的-对于实向量空间，它们是双线性的；对于复杂的向量空间，它们是半线性的。对于实向量空间，它们是对称的；对于复数空间，它们是共轭对称的。
$ \ endgroup $
–蝙蝠侠
17年2月2日在17:10
#4 楼
我认为阅读完Huang的文章“经验模态分解和非线性和非平稳时间序列分析的希尔伯特谱”后，我可以回答这个问题。在本文（第927页）中，Huang给出了两个信号之间正交性的定义：
而且，我也想与您分享我的MATLAB代码：
function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end
就这样，祝你好运〜
#5 楼
在矩阵乘法方面（例如对于DFT），信号的等效积分间隔由矩阵的大小（或输入矢量的大小）和采样率确定。通常出于实际考虑（感兴趣的时间或空间和/或可用性等）来选择它们。在该积分间隔内定义正交性。#6 楼
我认为您的示例有点过时。您很可能没有正确采样函数$ \ sin $和$ \ cos $，因为采样应该尊重它们的周期性。如果您在集合$ \ {\ dfrac {n2 \ pi} {N} \ | \ n \ in \ {0，\ ldots，N-1 \} \} $上采样这些函数，我向您保证发现您将发现的$ N $维向量将完全正交。
#7 楼
我喜欢对这种类型的问题采用几何方法，方法是记住Pythogoras公式仍然适用于矢量：$$
| x-y | ^ 2 = | x | ^ 2 + | y | ^ 2-2 \ cdot \ left \ langle x，y \ right \ rangle，
$$$
，标量积将相关系数定义为坐标之间的夹角的余弦此内积空间中的两个向量：
$$
\ left \ langle x，y \ right \ rangle = | x | \ cdot | y | \ cdot \ cos（angle（x（y，y））），
$$
标量$ \ cos（angle（x，y））$因此在$ -1 $和$ 1 $并测量向量$ x $和$ y $之间的角度$ angle（x，y）$的余弦值。
您的问题是，当余弦为零时，正交性定义为（在通常几何形状的平面空间中）。
评论
$ \ begingroup $
$ \ cos（f，g）$是什么意思？
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月3日，9：19
$ \ begingroup $
$ \ cos $是第二个方程式定义的标量，我添加了墨水+试图使它更清晰
$ \ endgroup $
– meduz
17-2-4在11:57
$ \ begingroup $
你的意思是：$$ \ begin {align} \ cos（f，g）＆\ triangleq \ frac {\ langle f，g \ rangle} {| f | \ cdot | g |} \\ \\＆= \ frac {| f | ^ 2 + | g | ^ 2- | f-g | ^ 2} {2 \ cdot | f | \ cdot | g |} \\ \ end {align} $$是您的意思吗？在近半个世纪中，我从未见过关于余弦函数的二元余弦函数。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17-2-4在20:27
$ \ begingroup $
你是对的，我的错，我已经更正了我的答案。
$ \ endgroup $
– meduz
17年2月19日在15:07
评论
$ \ begingroup $
术语“向量”不一定表示“空间中的位置”。实际上，向量空间中的任何元素都可以视为向量。函数空间L2也是具有元素逐级加法和标量乘法的向量空间。因此，作为L2元素的函数可以认为是此向量空间的向量。这样，这些向量之间的内积确定了函数在该向量空间上是否正交。
$ \ endgroup $
–马克西米利安·马特（MaximilianMatthé）
17年2月2日在13:16
$ \ begingroup $
@MaximilianMatthé，您好，我从未说过“ vector” =“空间位置”。我编写了向量空间$ \ mathbb {R} ^ 3 $的示例，以使情况更清楚，在这种情况下，向量位于一般的空间坐标中。我为函数状态定义了一个内积，这意味着（可以隐式地）函数可以形成向量空间。我应该编辑帖子中的内容以使其更清晰吗？我指的是样本不构成与信号本身相同的向量空间，这就是样本为何不讲正交性的原因。
$ \ endgroup $
– Tendero
17年2月2日在13:21
$ \ begingroup $
@Tendero谢谢（我问了这个问题，之前忘了登录）！但是，我仍然在努力，因为您说过，如果我用$ f（x）= cos（x）$和$ g（x）= sin（x）$计算给定的积分，那么我将得到$ 0 $。好吧，不。结果是$ -0.5cos ^ 2（x）$，它并不总是零。当然，如果我在一个时期内进行积分，那么我将得到零。但实际上，我以非周期函数开始，它们的内积（由积分定义）也不是周期的。那又如何呢？
$ \ endgroup $
– AlphaOmega
17年2月2日，13：30
$ \ begingroup $
@AlphaOmega函数在确定的时间间隔内正交。必须定义积分间隔，以便知道两个函数在该间隔中是否正交。通常的事情是将一个周期内的余弦和正弦积分，然后内积为$ 0 $。如果您具有非定期功能，那么也许您应该问另一个陈述的问题，然后看看在这种情况下发生了什么。
$ \ endgroup $
– Tendero
17年2月2日在13:39
$ \ begingroup $
内部乘积应始终包含边界，否则内部乘积不是字段的函数。您选择的间隔也会改变一个人谈论的向量空间。
$ \ endgroup $
–同义词
17年2月2日在17:04