为什么线性系统显示正弦保真度？

#1 楼

在视觉上补充了其他答案

您正在谈论的是线性和时不变的系统。

指数函数具有一个独特的属性（可以通过它实际定义） ）：进行时间转换会导致相同的函数乘以一个常数。所以

$$ e ^ {t-t_0} = e ^ {-t_0} e ^ t $$



红色指数也可能是蓝色的除以$ e $或向右移动1秒

通常，这也适用于复杂的指数

如$ x（t）= e ^ {j2 \ pi t} $？
的复杂谐波的图。如果是这样，您会看到它就像弹簧：随着时间的流逝，它沿着复杂平面旋转。



旋转弹簧（乘以单位圆中的复数）与平移弹簧相同。您可能已经在生活中遇到了这种视觉效果



这也是任何标准螺钉的原理。

假设我们输入在线性时不变系统中。您将获得输出$ y $
，现在输入此弹簧的旋转版本。由于线性关系，输出应为$ y $旋转相同的量。
但是由于旋转等效于时间平移，并且系统是时不变的，所以输出也必须经过相同时间的时间转换为$ y $。必须满足与输入相同的属性：旋转必须等同于特定的时间平移。仅当输出是原始弹簧的倍数时才会发生这种情况。

翻译多少钱？嗯，它与旋转成正比，就像弹簧一样。弹簧的环越紧（弹簧旋转得越快），则对于一定的旋转时间转换越少。螺钉的圈越紧，则需要进行更多的打圈才能使其完全适合。并且，当完成一半的回合后，螺钉将拧入一半。输出必须满足相同的关系，因此输出弹簧$ y $以与输入相同的频率旋转。

最后，一个提醒

$$ \ cos（t）= \ frac {e ^ {jt} + e ^ {-jt}} {2} $$

$$ \ sin（t）= \ frac {e ^ {jt} -e ^ {-jt}} {2 j} $$

在大多数情况下，用指数发生的实际上不需要用余弦和正弦发生。但是，如果系统也是真实的，那就另当别论了...

通常，由于同样的原因，任何指数都是线性时不变系统的“特征函数”（输出与输入成比例）。这就是为什么对于这些​​系统，Z变换和Laplace变换如此有用

#2 楼

考虑一个输入$ x（t）$和输出$ y（t）$的系统。从Lars1的答案中借用
表示法，我们表示此
关系$ x（t）\ to y（t）$。如果该系统满足以下属性，则称其为线性时不变（LTI）系统：

H。如果$ x（t）到y（t）$，则$ \ alpha x（t）到\ alpha y（t）$。

A.如果
$ x_1（t）\至y_1（t）$和$ x_2（t）\至y_2（t）$，则
$ x_1（t）+ x_2（t）\至y_1（ t）+ y_2（t）。$

T。如果
$ x（t）\ to y（t）$，则对于任何实数$ \ tau $，$ x（t- \ tau）\ to y（t- \ tau）$。

属性H和A等同于属性L

L。如果
$ x_1（t）\至y_1（t）$和$ x_2（t）\ to y_2（t）$，则
$ \ alpha x_1（t）+ \ beta x_2（t） \ to \ alpha y_1（t）+ \ beta y_2（t）$。


时不变系统的周期性输入会产生周期性输出
假设$ x（t ）$是周期为$ T $，
的周期信号，即对于所有整数$ n $，$ x（t-nT）= x（t）$。然后，从属性T，立即得出$ y（t）$也是周期为T $$的周期信号。因此，我们可以将
$ y（t）$表示为傅立叶级数：

$$ y（t）= \ frac {a_0} {2} + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos（n \ omega t）
+ b_n \ sin（n \ omega t）$$
其中$ \ omega = 2 \ pi / T $是基频。


由于$ \ cos（\ omega t）$和$ \ sin（\ omega t）$是周期信号，所以对于任何时不变系统， ，无论
是否线性，
$$ \ begin {align *}
\ cos（\ omega t）＆\ to \ frac {p_0} {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} p_n \ cos（n \ omega t）
+ q_n \ sin（n \ omega t）\\
\ sin（\ omega t）＆\至\ frac {r_0 } {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} r_n \ cos（n \ omega t）
+ s_n \ sin（n \ omega t）\\
\ end {align *}。$$
实际上，对于线性时不变（LTI）系统，所有$ p_n，q_n，r_n，$和$ s_n $均为零，但对于$ p_1，
除外，q_1，r_1，s_1 $。要了解为什么会这样，让我们​​用两个不同的方法计算LTI系统对$ \ cos（\ omega t-\ theta）$的响应
并比较结果。

由于$ \ cos（\ omega t-\ theta）= \ cos（\ theta）\ cos（\ omega t）+
\ sin（\ theta ）\ sin（\ omega t）$，我们从属性L和上面的等式
得到
\ cos（\ omega t-\ theta） ＆\ to
\ frac {p_0 \ cos（\ theta）+ q_0 \ sin（\ theta）} {2} \\
＆\ qquad + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty }（p_n \ cos（\ theta）+ r_n \ sin（\ theta））\ cos（n \ omega t）\\
＆\ qquad + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}（q_n \ cos（\ theta）+ s_n \ sin（\ theta））\ sin（n \ omega t）。
\ end {align *} $$
另一方面，由于$ \ cos（ \ omega t-\ theta）= \ cos（\ omega（t- \ theta / \ omega））$
只是属性T
我们得到
$$ \开始{align *}
\ cos（\ omega t-\ theta）＆\到
\ frac {p_0} {2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} p_n \ cos（n \ omega t -n \ theta）
+ q_n \ sin（n \ omega t-n \ theta）\\
＆= \ frac { p_0} {2} \\
＆\ qquad + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}（p_n \ cos（n \ theta）-q_n \ sin（n \ theta））\ cos（n \ omega t）\\
＆\ qquad + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}（q_n \ cos（n \ thet a）+ p_n \ sin（n \ theta））\ sin（n \ omega t）
\ end {align *}。$$
这两个傅立叶级数必须相同，无论值如何<我们选择的$ \ theta $。比较系数，我们看到对于所有
$ \ theta $，
$ p_0 / 2 $不能等于$（p_0 \ cos（\ theta）+ r_0 \ cos（\ theta））/ 2 $ p_0 = r_0 = 0 $。同样，对于任何$ n> 1 $，
$ p_n \ cos（n \ theta）-q_n \ sin（n \ theta）$不能等于
$ p_n \ cos（\ theta）+ r_n \除非$ p_n = q_n = r_n = s_n = 0 $，否则所有$ \ theta $
的sin（\ theta）$等。但是，对于$ n = 1 $，
$ p_1 \ cos（\ theta）-q_1 \ sin（\ theta）= p_1 \ cos（\ theta）+ r_1 \ sin（\ theta）$
表示$ r_1 = -q_1 $，类似地，$ s_1 = p_1 $。换句话说，对于LTI系统，

$$ \ begin {align *}
\ cos（\ omega t）＆\至p_1 \ cos（\ omega t）+ q_1 \ sin（\ omega t）\\
\ sin（\ omega t）＆\至-q_1 \ cos（\ omega t）+ p_1 \ sin（\ omega t）\\
\ end {align *}。$$
现在，$ p_1 \ cos（\ omega t）+ q_1 \ sin（\ omega t）= B \ cos（\ omega t-\ phi）$
其中$ B = \ sqrt {p_1 ^ 2 + q_1 ^ 2} $和$ \ phi = \ arctan（q_1 / p_1）$。因此，
属性T和H给我们
$$ A \ cos（\ omega t-\ theta）\到AB \ cos（\ omega t-\ phi-\ theta）。$$ < br频率为$ \ omega $ rad / s的任何正弦曲线都可以表示为
，如$ A \ cos（\ omega t-\ theta）$，用于选择$ A $和
$ \ theta $，因此上面的结果正是我们所需要的。


线性时不变系统的SISO属性：如果LTI系统的输入
是正弦曲线，则输出是
频率相同但幅度和相位可能不同的正弦波。


这并不是OP想要的结果-他想要
证明线性系统（其中具有属性H和
A（等同于属性L）但不一定具有
T）的线性系统具有SISO属性，但是正如上面的发展所示，Property必须保持T以证明更弱的结果，即周期性输入会导致周期性输出。


最后，请注意，没有必要到使用复数或卷积定理或Fourier
或LaPlace变换，脉冲，本征函数等来证明SISO属性。它来自Properties
L和* T以及三角恒等式
$$ \ cos（\ alpha-\ beta）= \ cos（\ alpha）\ cos（\ beta）
+ \ sin（\ alpha）\ sin（\ beta）。$$

评论

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$ \ begingroup $
如果$ x（t）$不是周期性的（不相称的频率可能不会发生周期性变化）会发生什么？需要$ T $是有限的吗？我们是否可以通过要求$ x（t）$在观察时间间隔内平方可积来获得一般性的东西？
$ \ endgroup $
– Lars1
2012年7月22日在7:21

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$ \ begingroup $
@ Lars1如果LTI系统的输入不是周期性的，则输出也不是周期性的。在特定情况下，如果$ x（t）= A_1 \ cos（\ omega_1 t）+ \ A_2 \ cos（\ omega_2 t）$，其中$ \ omega_1 / \ omega_2 $是不合理的（因此输入不是周期性的），然后从属性L中获得$$ A_1 \ cos（\ omega_1 t）+ \ A_2 \ cos（\ omega_2 t）\至A_1 B_1 \ cos（\ omega_1 t-\ phi_1）+ \ A_2B_2 \ cos（\ omega_2 t -\ phi_2）$$，它的输出也不是周期性的。因此没有问题。
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
2012年7月22日在22:08

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$ \ begingroup $
@Sarwate：不完全是我想说的，对不起。想知道是否$ x（t）= \ cos（\ pi t）+ \ cos（\ sqrt {2} t）$将由上述情况处理。如果我们需要一个有限的观察时间间隔，其中$ t \ in \ mathbb {T} = [0; T] $，则任何平方可积信号都可以写为观察间隔中的傅立叶级数。对于有限的$ T $，这可能是最通用的方法，据我所知，您的推导仍然成立。显然，傅立叶级数方法将周期性强加到$ \ mathbb {T} $之外，但是如果我们只关心信号$ t \ on \ mathbb {t} $，则这并不重要。
$ \ endgroup $
– Lars1
2012年7月23日上午10:10

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$ \ begingroup $
@ Lars1我不同意您的意见，即$ [0，T] $之外的强制性周期无关紧要。如果在LTI系统中输入$ x（t）$产生输出$ y（t）$，则将SISO属性应用于傅立叶级数不会将$ y（t）$限制为$ [0，T] $。相反，获得的是对周期信号$ \ hat {x}（t）$的周期响应$ \ hat {y}（t）$的一个周期，其中每个时刻$ t $，$-\ infty < t <\ infty $，$$ \ hat {x}（t）= x（t \ bmod T）。$$换句话说，$ x（t）$的$ T $第二段定期重复$ T $）沿时间轴。
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
2012年7月23日在20:03

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$ \ begingroup $
例如在非线性RF系统中，我们经常选择不正弦的总和，以确保从输入到输出的唯一频率映射。这些导致产生非周期性的信号，我只是很好奇为什么您必须假设周期性，在此之上我认为似乎排除了大多数实际相关的信号。可以将有限观察间隔中的平方可积$ x（t）$和$ y（\ tau）$表示为傅里叶级数。我没有（打算）声称$ t $是在$ x $和$ y $ BTW的相同间隔上定义的，而$ y $可能是时间偏移版本。我将在这里停留以避免进一步的混乱。
$ \ endgroup $
– Lars1
2012年7月25日在13:39

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