我正在阅读的旧版工作文本按以下方式使用它，将每单位时间的过零次数定义如下：
$$ N_0 = \ frac1 {\ pi} \ left（\ frac {m_2} {m_0} \ right）^ {1/2} $$
然后继续进一步定义给定的每单位时间的极值数量创建者：
$$ N_e = \ frac {1} {\ pi} \ left（\ frac {m_4} {m_2} \ right）^ {1/2} $$
继续说“在哪里$ m_i $是频谱的$ i $时刻。”
以前有人遇到过吗？频谱的“时刻”是什么？我以前从未在DSP文献中听说过它。
#1 楼
假设低通信号。
由于$ X（f）$通常是复数值，因此使用功率谱$ | X（f）| ^ 2 $
可能是一个更好的主意，尤其是如果您想求平方根
等。之后。因此，$ m_k $定义为
$$ m_k = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ k | X（f）| ^ 2 \ mathrm df。$$
请特别注意$ m_0 $是信号的功率，而$ m_1 = 0 $
现在，信号的Gabor带宽$ G $由
$$ G = \ sqrt {\ frac {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ 2 | X（f）| ^ 2 \ mathrm df} {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | X（f）| ^ 2 \ mathrm df }} = \ sqrt {\ frac {m_2} {m_0}}。$$
从稍微不同的角度来看，$ | X（f）| ^ 2 $是非负函数，
和“曲线下的区域$ | X（f）| ^ 2 $”，即。 $ m_0 $是信号中的功率。因此，$ | X（f）| ^ 2 / m_0 $实际上是方差为
$零\ sigma ^ 2 = \ int _ {-\的零均值随机变量的概率密度函数。 infty} ^ \ infty f ^ 2 \ frac {| X（f）| ^ 2} {m_0} \ mathrm df
= \ frac {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ 2 | X（f）| ^ 2 \ mathrm df} {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | X （f）| ^ 2 \ mathrm df} = G ^ 2 $$。
频率为$ G $ Hz的正弦曲线具有$ 2G = 2 \ sqrt {\ frac {m_2} {m_0}} $
每秒过零。由于穆罕默德（Mohammad）正在阅读一本旧书，
它很可能以弧度$ \ omega $来完成所有这一切，因此
如果$ G $是每秒弧度的Gabor带宽，我们需要除以
通过$ 2 \ pi $给予
$$ N_0 = \ frac {1} {\ pi} \ sqrt {\ frac {m_2} {m_0}}〜\ text {每秒过零。} $ $
转到极值，$ x（t）$的导数具有傅立叶变换
$ j2 \ pi f X（f）$和功率谱$ | 2 \ pi f X（ f）| ^ 2 $。其Gabor
带宽为
$$ \ begin {align *} G ^ \ prime＆= \ sqrt {\ frac {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ 2 | 2 \ pi f X（f）| ^ 2 \ mathrm df} {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | 2 \ pi f X（f）| ^ 2 \ mathrm df}} \\
＆= \ sqrt {\ frac {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ 4 | X（f）| ^ 2 \ mathrm df} {\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ \ infty f ^ 2 | X（f）| ^ 2 \ mathrm df}} \\
＆= \ sqrt {\ frac {m_4} {m_2}}。
\ end {align *} $$
使用与以前相同的参数（每个周期的两个导数
零交叉与每个周期的两个极值相同），弧度与
赫兹频率，我们得到
$$ N_e = \ frac {1} {\ pi} \ sqrt {\ frac {m_4} {m_2}}〜\ text {每秒极值。} $$
评论
$ \ begingroup $
很好的答案Dilip ...但是，“ Gabor带宽”吗？...我以前从未听说过，而且我似乎无法从网上获得有关它的任何信息-您从哪里得到它的公式？到底应该测量什么？
$ \ endgroup $
–太空
2012年2月7日，下午3:12
$ \ begingroup $
感谢您提供的pdf链接-尽管我认为它们不起作用。您能验证一下吗？
$ \ endgroup $
–太空
2012年2月7日在5:05
$ \ begingroup $
如果$ f $以Hz为单位，则应格外小心。在这种情况下，正确的频谱矩为$$ m_k = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty（2 \，\ pi \，f）^ k | X（f）| ^ 2 \ mathrm df。$$
$ \ endgroup $
– jankos
2015年10月27日在20:25
$ \ begingroup $
@jankos您是否有引用说明频谱矩$ m_k $的正确定义？
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
15-10-27在20:37
#2 楼
我不知道我以前听过这个词，但是我将“矩”一词解释为与质心和面积的第一和第二矩的物理概念类似：$$
m_k = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f ^ kX（f）\ df
$$
也就是说，频谱中每个频率的内容都由该频率的第kk次幂加权，结果在整个频谱中加总。不确定这是否是您想要的，但这是频谱的时刻（或与此相关的单个变量的任何函数）的概念。
#3 楼
您提到的比率是标准矩或$ L $矩的实例。信号处理中的矩与物理矩和统计矩相似。在物理学中，矩的概念是：
涉及距离与另一个物理量的乘积的表达式，以此方式解释了物理量是多少
位置或排列的
它可以看作是质心概念的概括。平均值，标准偏差或偏度和峰度是派生的概念，可以在任何域（如时间或频率）中进行计算。基本上，函数$ g $在域$ D $上的$ \ alpha $时刻（约为$ c $）由整数形式定义，方法如下：
$$ m_ {g_D}（\ alpha，c）= \ int_D（tc）^ \ alpha g（t）dt $$
或
$$ m_ {g_D}（\ alpha，c）= \ int_D [tc | ^ \ alpha g（t）dt $$
。传统上，对于实信号$ x $，由于对称性，在具有$ X（f）$的傅立叶域中，相对于功率归一化能量（$ g（\ cdot）= | X（\ cdot）定义频谱矩| ^ 2 $）
$$ m_ \ alpha = \ int_ {f \ ge 0} f ^ \ alpha \ frac {| X（f）| ^ 2} {\ int _ {\ nu \ ge 0} | X（\ nu）| ^ 2d \ nu} df $$
例如：有效地计算频谱矩，以确定频谱矩的随机响应统计量：“频谱矩是从一个双面PSD”。
换算成$ L $矩的比率，它们可以成为函数行为的标度-fre，无单位指示符，包括极值，过零或稀疏（$ m_1 /例如m_2 $）。
评论
提及有效的频谱矩计算，以确定频谱矩的随机响应统计信息：“频谱矩是从单侧PSD计算得出的”我以为频谱瞬间就是电影《捉鬼敢死队》中发生的事情！ :-)