滤波器如何使组延迟为零？

#1 楼

“重建统一”有两个有趣的方面。首先，有两种组合两个滤波器的方式：并联和串联。对于并行拓扑，总是可以找到一个互补的滤波器，以便使这些对加在一起。实际上，这很容易。只需执行$ \ tilde {H}（\ omega）= 1-H（\ omega）$。在时域中，这意味着互补滤波器的脉冲响应只是原始脉冲响应的负值，在第一个样本中添加了1。因此，所有“环形”东西都被抵消了。现在，这种免费滤镜的形状并不总是人们所期望的。对于一阶低通，实际上是一阶高通，但是对于高阶滤波器，它往往在截止区域中具有过大/过低的摆幅。但是，它始终作为稳定的因果过滤器存在。

系列（或级联）“重构为统一”要复杂一些。显然，过滤器必须彼此相反，即$ \ tilde {H}（\ omega）= \ frac {1} {H（\ omega）} $。通常，可以对任何最小相位滤波器执行此操作。最小相位滤波器的逆也是最小相位，并且两者都是因果关系且稳定的。

因此，这给我们留下了在这些情况下如何解释群时延的问题。级联的情况实际上更有趣。由于滤波器彼此相反，所以一个的相位和群延迟是另一个的负数。因此，在某个频率处，一个滤波器的群延迟为正，另一个滤波器的群延迟为负。一个简单的例子就是增益为+ 6dB的低架子和削减为6dB的低架子。实际上，它们出现在滤波器的相当“不平坦”的区域中，因此传统的“包络延迟”解释并不适用，因为同样存在大量的幅度失真。 >
如果您使用Google的“负组延迟”，则可以找到一些解决该问题的IEEE文章。

#2 楼

在这个问题上，没有群延迟的误用，也没有违反物理或因果关系。组延迟作为相位相对于频率的负导数的定义仍然成立，因为每个滤波器自身都有一个正的时间延迟，该延迟在整个频率上不是恒定的。当滤波器并联或串联时会发生什么情况，以显示细节。

对于交叉滤波器的示例，两个滤波器显然是并行的，以实现所示的结果，因此非常直观地知道结果如何具有0组延迟：两个滤波器是互补的低通和高通；当并联连接时，好像两个滤波器都不存在（全通，延迟为0）。如果这些滤波器串联连接，则将导致交叉处的带通，并具有预期的延迟；高通将衰减低频，而低通将衰减高频，并且在分频处，两个信号都将通过信号的-3 dB，在分频处的幅值为0.5，相位= 0° ：$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {j \ pi / 2} \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {-j \ pi / 2} $

如下图所示，考虑两个并联并在频率上线性系统的一般情况及其频率响应。注意，系数和指数是频率的函数，为了使表达式简单明了，我省略了这些函数。 $ A_1 e ^ {j \ phi_1} $代表$ A_1（\ omega）e ^ {j \ phi_1（\ omega）} $，两个表达式都是这些系统的脉冲响应（频率响应）的傅立叶变换，例如



根据OP的问题考虑第一种情况。在交叉处，每个滤波器的幅值和相位为：

交叉处的高通：$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {j \ pi / 2} $

交叉时的低通：$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {-j \ pi / 2} $

并行结果将是：$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {j \ pi / 2} + \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {-j \ pi / 2} $等于1，角度为0。这种情况最容易从图形上看出是两个向量的加法运算：



串联得到的结果是$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {j \ pi / 2} \ frac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {-j \ pi / 2} $。当您将向量相乘时，您要对幅值相乘并加上相位（指数），因此该结果仅是相位为0的0.5。 />
高通作为f $ \ rightarrow \ infty $：$ 1e ^ {j0} $

低通作为f $ \ rightarrow \ infty $：$ 0e ^ {-j \ pi} $

请注意，并行情况下的结果仍然是1，角度为0，但是在串联情况下，当频率接近$ \ infty $时，结果接近0（角度为$-\ pi $）。这是有道理的，高通使信号通过（没有延迟-滤波器在最高频率下是透明的），但低通完全阻止了信号，因此没有任何信号通过。进一步，我们看到在经过分频器时，相位如何朝负方向变化，求和滤波器的带通结果中存在延迟，这由净相移与频率的斜率的负值给出。

两者之间发生的事情要求两个滤波器之间具有特殊的数学关系，以使并联组合的总和为零相位（因此零组延迟，从本质上使并联组合也透明）。考虑OP的示例，我们可以清楚地看到两个滤波器的相位之间存在正交关系。因此，我们有：

$$ A_1e ^ {j \ phi_1} + A_2e ^ {j \ phi_2} $$
$$ = A_1e ^ {j \ phi_1} + A_2e ^ {j （\ phi_1-\ pi / 2}）$$
$$ = A_1e ^ {j \ phi_1} + A_2e ^ {-j \ pi / 2} e ^ {j \ phi_1} $$
$$ = A_1e ^ {j \ phi_1}-A_2je ^ {j \ phi_1} $$
$$ = e ^ {j \ phi_1}（A_1-jA_2）$$

为了使该结果在所有频率下始终为零相位，必须保持以下等式：

$$ A_1-jA_2 = e ^ {-j \ phi_1} $$

或描述为：

$$ A_1 + jA_2 = e ^ {j \ phi_1} $$

这仅仅是单位圆的实部和虚部当我们在所有可能的值上扫描$ \ phi_1 $时。因此，当$ A_1 = cos（\ phi_1）$和$ A_2 = sin（\ phi_1）$时，两个滤波器的矢量求和将对所有$ \ phi_1 $以及所有频率产生零相位。



关于OP显示的最终图及其问题的可能直觉，请考虑导数是高通函数-如果您采用红色脉冲的导数结果将获得绿色脉冲。在出现红色脉冲之前，您无法开始获得此结果，因此不会违反因果关系。

#3 楼

我认为这是一个相当有趣的问题，所以我将尽力回答这个问题，尽管已经晚了5年。例如，将其计算为相的负导数。在这种情况下，此方法不合适。

在这种情况下，测量群延迟的一种更合适的方法是使用正弦波输入并测量输入与求和输出之间的延迟。当然，为了获得完整的图像，您将需要进行扫频，这很麻烦，但很准确。

如果您这样做，我想我们都同意您可以测量一个非零组延迟。

#4 楼

组延迟与组即调制信号有关，因此组延迟的测量应使用组（调制信号）进行。进入过滤器的组在过滤器输出端的形状应相同。形状是指小组的范围。以单个频率进行的测量不包含有关群延迟的信息。