$$ \ mathbf {w} _ \ theta = \ frac {\ widehat {\ mathbf {R}} ^ {-1} \ mathbf {a} _ \ theta} {\ mathbf {a} ^ H_ \ theta \ widehat {\ mathbf {R}} ^ {-1} \ mathbf {a} _ \ theta} $$
，MVDR波束形成器的输出功率为
$$ B_ {mvdr}（\ theta）= \ mathbf {w} _ \ theta ^ H \ widehat {\ mathbf { R}} \ mathbf {w} _ \ theta $$
为了完整性，常规波束形成器的输出功率为$ B_ {conv}（\ theta）= \ mathbf {a} _ \ theta ^ H \ widehat {\ mathbf {R}} \ mathbf {a} _ \ theta $。
但是，当信号不匹配时，即当感兴趣信号的转向矢量模型与数据中的内容不匹配时，或者当实际信号与实际信号不匹配时，这些自适应波束形成器也容易受到严重的性能影响。阵列位置会从操纵/外观向量中使用的阵列位置中受到干扰（实际上就是这种情况）。性能下降的幅度可能很大，以至于不如传统的波束形成器。
如何提高自适应波束形成器（在这种情况下为MVDR，但更普遍地适用）对信号失配的鲁棒性？
示例：
这是使用两个平面波信号进行仿真的结果，一个在$ + 30 ^ \ circ $，另一个在$ -22.5 ^ \ circ $，并且比第一个低10 dB，撞击了10个元素均匀的线阵列（间隔在嘈杂的环境中（噪声功率的确切值无关紧要，您可以假定它比信号功率低得多）在$ \ lambda / 2 $，其中$ \ lambda $是波长）处。协方差矩阵由50个观察值（快照）组成。前两个面板显示了MVDR和常规波束形成器的输出，您可以清楚地看到MVDR与常规波束形成器相比具有更高的分辨率。两者都可以很好地估计信号功率。
但是，当元件位置稍微受到干扰（波束形成器不知道扰动）时，会导致实际信号控制向量与模型不匹配， MVDR波束形成器的信号功率估计为kaput。尽管它仍然可以很好地定位信号，但是它几乎无法正确测量它们。相比之下，传统的波束形成器可以正确地获得相对功率，尽管由于旁瓣增加而难以定位信号。 （注意：所有图都已通过最大功率进行了归一化，因此尽管您看不到它，但左上图中的$ 30 ^ \ circ $处的峰值为0 dB。因此，这并未真正显示出实际功率功率估计由于不匹配而降低，因为我只是想画出定性的图片。）
http://dsp.stackexchange.com/questions/146/how-can-one -将自适应波束形成器的鲁棒性提高到信号不匹配的＃comment-308：
左下图的标题应为MVDR：Perturbed array。
我会尽快纠正错误。
– yoda Sep 3 at 5:28
->
我是否有可能使用MVDR波束形成器来改善信号功率的估计麻烦的情况下？
#1 楼
我知道的一种方法是将$ \ widehat {\ mathbf {R}} $的对角线“加载”一些值$ \ sigma_d ^ 2 $，以稳定协方差矩阵并使自适应矢量更鲁棒表示不匹配。这通常在匹配场处理中完成，称为对角线加载或白噪声约束波束形成。换句话说，鲁棒的自适应权重向量的计算公式为
$$ \ widehat {\ mathbf {w}} _ \ theta = \ frac {\ left（\ widehat {\ mathbf {R}} + \ sigma_d ^ 2 \ mathbf {I} \ right）^ {-1} \ mathbf {a} _ \ theta} {\ mathbf {a} ^ H_ \ theta \ left（\ widehat {\ mathbf {R}} + \ sigma_d ^ 2 \ mathbf {I} \ right）^ {-1} \ mathbf {a} _ \ theta} $$
，输出光束功率为现在计算为
$$ \ widehat {B} _ {mvdr}（\ theta）= \ widehat {\ mathbf {w}} _ \ theta ^ H \ left（\ widehat {\ mathbf { R}} + \ sigma_d ^ 2 \ mathbf {I} \ right）\ widehat {\ mathbf {w}} __ theta $$
这里的结果是比较无不匹配，由于干扰而导致的不匹配MVDR波束形成器的阵列和对角加载的情况，用于所讨论的情况。信号功率估计有所改进，但以增加背景噪声功率为代价。
评论
$ \ begingroup $
如何知道要选择$ \ sigma_d $的值？另外，好的，这样行得通-但是为什么行得通呢？
$ \ endgroup $
–太空
2011年9月23日在2:16
$ \ begingroup $
虽然我没有关于此应用程序的任何实践经验，但我也看到了该技术在其他领域中的使用；定性地，这是一种向自适应系统传达模型中存在一些不确定性的方法，类似于您如何在卡尔曼滤波器中包括过程噪声以解决系统中未建模的影响。
$ \ endgroup $
–Jason R
2011年9月23日下午3:23
$ \ begingroup $
@JasonR是的，它是一种广泛使用的技术，在数学和统计学文献中被称为“正则化”。
$ \ endgroup $
–乳香
2011-09-23 4:17
$ \ begingroup $
@Mohammed，通常，您需要对信号电平有所了解，才能为$ \ sigma_d ^ 2 $选择正确的值。这也是一个折衷方案，即您可以估算的距离与提高背景噪声水平的距离之差。在不确定的环境中选择它仍然是研究的主题。一般经验法则是，该值应大于$ \ widehat {\ mathbf {R}} $的最小特征值。至于原因，我还不知道如何用简单的术语来解释，只能用数学来解释（这对于这个问题来说太过分了）。
$ \ endgroup $
–乳香
2011-09-23 4:19
$ \ begingroup $
尤达，为什么不“简单”。 :-)众所周知，它可以工作。它为什么起作用尚不清楚，因此到目前为止，这里没有太多的了解。
$ \ endgroup $
–太空
2011-09-23 23:27
评论
左下图的标题应显示为MVDR：Perturbed array。我会尽快改正错误。您增加了多少扰动？似乎取决于天线元件相对于所需载波频率的波长的不确定性。随着频率的增加，这使问题变得更难（阅读：更昂贵），但是对于较低的频率，问题可能更易于管理。
@JasonR阵列之间的间距是$ \ lambda / 2 $，其中$ \ lambda $是波长。因此，这里只考虑一种频率。我将其包含在问题中。此处添加的扰动的确切值无关紧要，因为正如我提到的那样，beamformer（又名用户）并不知道这种扰动（如果我们知道的话，我们将使用精确的表示形式）。
对。但是性能下降的幅度将在某种程度上与扰动的幅度成比例。显然，如果元素位置错误1微米，则阵列响应将与例如偏离1厘米的情况不同。你看到我在问什么吗？我想知道您在示例案例中使用了多少扰动。
@JasonR在此示例中，摄动为$ \ mathcal {N}（0,0.0025）$，以表示单位间距，为简单起见，我仅沿轴进行摄动（即，它仍然是1D而不是2D / 3D）。 />