$$ y（n）= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} w_k ^ * u（nk），\ Quad n = 0,1,2，... $$
其中$ u $和$ w $是复数值。我的问题是为什么要使用$ w_k $的复共轭？在书中找到的答案说：“ ...，用复杂的术语来说，术语$ w_k ^ * u（nk）$表示滤波器系数$ w_k $和滤波器输入$ u（nk的内积的标量形式。 ）$“。我还是不明白，您能详细说明一下这个答案吗？
#1 楼
事实证明，卷积和相关性密切相关。对于实信号（和有限能量信号）：卷积：$ \ qquad y [n] \ triangleq h [n] * x [n] = \ sum \ limits_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} h [nm] \，x [m] $
相关性：$ \ qquad R_ {yx} [n] \ triangleq \ sum \ limits_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} y [n + m] \，x [m] = y [-n] * x [m] $
现在，在度量空间中，我们喜欢使用以下表示法： br />
$$ R_ {xy} [n] \ triangleq \ Big \ langle x [m]，y [n + m] \ Big \ rangle = \ sum \ limits_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x [m] y [n + m] $$
$ \ langle \ mathbf {x}，\ mathbf {y} \ rangle $是向量$的内积\ mathbf {x} $和$ \ mathbf {y} $，其中$ \ mathbf {x} = \ {x [n] \} $和$ \ mathbf {y} = \ {y [n] \} $。然后，我们还想将向量的范数定义为
$$ \ begin {align}
\ | \ mathbf {x} \ | ＆\ triangleq \ sqrt {\ big \ langle \ mathbf {x}，\ mathbf {x} \ big \ rangle} \\
＆= \ sqrt {\ sum \ limits_ {m =-\ infty} ^ { \ infty} x [m] x [m]} \\
＆= \ sqrt {\ sum \ limits_ {m =-\\ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 [m]} \\
\ end {align} $$
，它看起来很像具有无限数量维的向量的欧几里得长度。所有这些对于矢量$ \ mathbf {x} $的元素$ x [n] $都是实数的情况非常有效。规范$ \ | \ mathbf {x} \ | $始终是实数且非负数。
因此，如果我们概括并允许$ \ mathbf {x} $的元素为复数值，则如果使用相同的规范定义，
$$ \ | \ mathbf {x} \ | \ triangleq \ sqrt {\ big \ langle \ mathbf {x}，\ mathbf {x} \ big \ rangle} $$
，然后需要稍微修改内部产品的定义：
$$ \ Big \ langle \ mathbf {x}，\ mathbf {y} \ Big \ rangle = \ sum \ limits_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x [m] y ^ * [m] $$
然后，如果$ \ mathbf {x} $具有复杂值的元素，则规范的结果为：
$$ \ begin {align }
\ | \ mathbf {x} \ | ＆\ triangleq \ sqrt {\ big \ langle \ mathbf {x}，\ mathbf {x} \ big \ rangle} \\
＆= \ sqrt {\ sum \ limits_ {m =-\\ infty} ^ {\ infty} x [m] x ^ * [m]} \\
＆= \ sqrt {\ sum \ limits_ {m = -\ infty} ^ {\ infty} \ Big | x [m] \ Big | ^ 2} \\
\ end {align} $$
所以，显然，Haykin只是将内积的定义返回到卷积的定义。
#2 楼
不需要在自适应滤波器的形成中使用共轭。但是，如果不使用共轭写输出，那么很容易忘记所处理的变量很复杂。如果您写$$ h（n）= \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} w_k（n）u（nk）
$$
，则不清楚
正如罗伯特·罗伯特（Robert）所指出的那样，如果习惯于仅查看为实际数据定义的相关性，则需要更新相关性的定义以处理复杂数据。 />使用这种共轭的另一个原因是简化对导数的求取，以找到自适应滤波器的解。假设我们有一个试图最小化的实值目标函数$ J（w）$-通常这是均方误差，即$ E [e ^ *（n）e（n）] $。取这个数量wrt $ w $的导数并不是那么简单。
常用的技术是将目标函数写为$ w $和$ w ^ * $的函数-也就是说，将$ w $和$ w ^ * $作为自变量。现在我们有
$$ J（w）= F（w，w ^ *）$$
为了找出最小值，我们取导数wrt $ w $和$ w ^ * $并将它们设置为零，因此我们希望求解
$$ \ frac {\ partial F（w，w ^ *）} {\ partial w} = \ frac {\ partial F（w，w ^ *） } {\ partial w ^ *} = 0 $$
但是，如果进行分析，您会发现
$$ \ frac {\ partial F（w，w ^ *） } {\ partial w} = 0 = \ iff \ frac {\ partial F（w，w ^ *）} {\ partial w ^ *} = 0
$$
只需求解这些方程式中的一个即可。
有关完整的详细信息，请查看：
“复杂梯度算子及其在自适应数组中的应用
“理论”，布兰德伍德（Brandwood）1983年，通信，雷达和信号处理，IEE论文集F
“复杂梯度算子和
CR微积分”在此处Kreutz-Delgado
”复杂的梯度和粗麻布”，van den Bos，1994年，视觉，图像和信号处理，IEE会议论文集
对于自适应滤波器的理论，我更喜欢Ali Sayed在“自适应滤波基础”中的介绍。他提出了LMS，NLMS，RLS，APA和Lattice滤波器的统一派生。