采样比我准确执行球形谐波变换所需的密度大得多。我想在进行转换之前先丢弃一些样本，以便计算更快。我需要多少个样本（以$ l_ {max} $为单位）才能确保获得“良好”结果？
我意识到答案将取决于“良好”的定义和样本点（在我的情况下，样本是随机分布的）。但是，我正在寻找一个像奈奎斯特定理这样的结果，从中可以安全地估计要保留的样本数。
#1 楼
看起来像是蓝噪声的潜在应用，也称为Poisson磁盘采样，它是样本的随机放置，但保证了样本位置之间的最小距离。我认为与独立放置的随机样本相比，转换结果会更准确。具有特定采样方案的各种球谐变换算法将输入$ 4l_ \ text {max} ^ 2，$ $ 2l_ \ text作为输入{max} ^ 2 $或$ l_text {max} ^ 2 $个样本，请参见Khalid等人，2014年，“具有快速球面谐波变换的球体的最佳维采样方案”，arXiv：1403.4661。不能低于$ l_ \ text {max} ^ 2 $，因为它恰好等于球谐域中的自由度。
也许您可以确定需要在变量前面使用哪个因子$ l_ \ text {max} ^ 2 $用于分配示例位置，以获得可靠的结果。这可以基于变换-逆变换数值精度测试来完成
#2 楼
对于您的要求以及它与球面基函数集的关系，我有些困惑。那是电子轨道所基于的那个，对吧？我从不了解它们被限制在球体的表面上。再说一遍，这不是我通常的踩踏理由。但是，我认为我可以概括您的问题并提供答案。
在这种情况下的函数名称。是的，我知道在许多情况下它是“势函数”的标准，但是在球坐标系中它具有不同的含义。我将使用$ lon $和$ lat $作为您的点位置，并保留$ \ phi $作为值，这样就不会造成混淆。
您有大量的适合模型的点集合：
$$ \ phi_n = \ phi（lat_n，lon_n）$$
您想找到$ \ phi $作为预定义基函数的线性组合。
$$ \ phi（lat，lon）= \ sum_ {k = 0} ^ {K-1} c_k B_k（lat，lon）$$
$ B_0（lat，lon）= 1 $，但这不是必须的，但是我想添加“ DC”一词来帮助人们与DFT相关。
无论如何，对于每个$ k $，您具有$ B_k（lon，lat）$的可计算函数定义。
现在这是标准的最佳拟合问题。您想要找到$ c_k $ s的值以使$ \ phi $最适合您的数据。
设置以下数组：
$$
B =
\开始{bmatrix}
B_0（lat_0，lon_0）＆B_1（lat_0，lon_0）＆B_2（lat_0，lon_0）＆...＆B_ {K-1}（ lat_0，lon_0）\\
B_0（lat_1，lon_1）＆B_1（lat_1，lon_1）＆B_2（lat_1，lon_1）＆...＆B_ {K-1}（lat_1，lon_1）\\
：＆：＆：＆：＆...＆：\\
B_0（lat_ {N-1}，lon_ {N-1}）＆B_1（lat_ {N-1}，lon_ {N-1 }）＆B_2（lat_ {N-1}，lon_ {N-1}）＆...＆B_ {K-1}（lat_ {N-1}，lon_ {N-1}）\\
\ end {bmatrix}
$$
$$
C =
\ begin {bmatrix}
c_0 \\
c_2 \\
：\\
c_ {K-1} \\
\ end {bmatrix}
$$
$$
P =
\开始{bmatrix}
\ phi_0 \\
\ phi_1 \\
：\\
\ phi_ {N-1} \\
\ end {bmatrix}
$$
$ B $（NxK ）和$ P $（Nx1）从您的数据点和基函数评估中得知。 $ C $（Kx1）包含您要求解的未知数。
理想情况下，
$$ BC = P $$
如果$ N = K $，只需将两边都乘以$ B ^ {-1} $即可得出解决方案。
$$ C = B ^ {-1} P $$
通常，您希望获得的积分要多于此，但这是最低要求，除非您不希望得到拟合不足。 C $：
$$ B ^ * BC = B ^ * P $$
$$ C =（B ^ * B）^ {-1} B ^ * P $$
这基本上是一种插值技术。有趣的是，在球体表面的域上，插值与外推似乎毫无意义。您将希望尽可能分散点，以免对曲面的任何大区域进行采样。 $ B ^ * B $的大小为KxK，其反转可能是您最大的计算负荷，具体取决于您的基础函数在表面点进行评估的强度。
在常规DFT中，$ N = K $和$ B ^ {-1} $是$ \ frac {1} {N} B ^ * $，因此反演是隐式求解的。
“奈奎斯特频率”的概念通常情况下，在这种情况下没有直接相关性。它可能取决于您选择的$ B_k $函数，但仍然无关紧要，因为在您的情况下，您是随机分布的点而不是规则间隔的点。
您的最终答案是，您要去想要拥有至少与基础函数一样多的样本点，但可能会想要更多。您选择的点数不会影响需要取的逆数的大小。
希望这会有所帮助。
这是对Fat32的响应评论。
查看OP给出的参考，似乎$ B_k $ s是由等式（18）到（33）定义的，尽管看起来也列出了其他一些。当然，该列表可以扩展。由于OP的点是随机分布的，因此除了我提供的方法外，我没有其他可行的方法。请注意，第一个确实是一个“ DC”函数。
确实提出了一个问题，尽管是否存在一组可定义且分散的位置，矩阵$ B ^ {-1} $是$ N = K $时$ B ^ * $的倍数，或者$ N> K $时$ B ^ * B $是单位矩阵的倍数。 （调用Olli）只是连续函数是正交的，并不一定意味着它们的离散采样版本是正交的。使用trig函数（DFT）时，例如，使用Legendre多项式，则不是。 [更正：对角线足以实现平凡的逆。]
无论如何，对于一组固定的样本位置，$（B ^ * B）^ {-1} B ^ * $始终可以是pre计算。然后，就像使用DFT一样，找到系数只是一个简单的矩阵乘法。这不是OP所具有的。 [更正：可以选择$ N \ ge K $的一组点，因此矩阵是不可逆的。对于随机选择，这不太可能，但是$ B $的列可能最终不是很正交，这会导致不良的数字行为。感谢您的论文参考，Olli。这看起来很实际，OP应该一定要阅读它。]
“奈奎斯特频率”的概念严格取决于一维标度上均匀间隔的采样位置的间隔，并且与框架中的点数。我们倾向于将其视为“进入别名之前的最后一个有效基函数”（假设上半部分被认为是负频率，并且首先被使用）。 OP的情况类似于信号的不均匀采样点，因此我真的不认为Nyquist概念可以有意义地翻译。
我认为他的问题是获得一个好的答案所需要的更多点，而只是猜测它类似于奈奎斯特。
我认为理解这很有启发性就像这样，DFT确实是最佳解决方案的一个例子。
评论
$ \ begingroup $
在很多情况下，解决方案的解析推导是不可能的或显而易见的，但最合适的最小化可能是一个不错的选择，但我认为，这种傅立叶频谱采样和相关混叠的特定方案不适合确定奈奎斯特速率...我可能看不到您的基函数的含义？
$ \ endgroup $
– Fat32
19年11月23日在3:42
评论
哇，非常有趣-您可以分享这个应用程序是什么吗？你可以成为第一！如果我在您的鞋子里，我会先回顾一下奈奎斯特的原始论文，然后看看是否可以将其应用于您的问题。
您知道，如果要进行嘈杂的测量，那么增加样本数量将有助于提高结果的准确性，是吗？