路径跟踪器中的多个重要性采样会产生深色图像

#1 楼

在我的整个回答中，有时会使用[MIS，section_number]引用https://sites.fas.harvard.edu/~cs278/papers/veach.pdf中的一些结果。

您可以如果您不关心使用MIS组合估计量为何有效的数学解释，请跳过以下推导。
我必须从MIS的目的开始。通常的想法是，您要通过蒙特卡洛估算一些整数$ I = \ int _ {\ Omega} {f（x）\，d \ mu（x）} $，并且有各种采样pdf（在我们的示例中pdf表示灯光上的采样点，pdf表示来自brdf的采样方向。另外，您想使用多种技术进行采样，然后以最佳方式（在某种意义上）组合贡献。为简单起见，我将只限于两个pdf：$ p_L（x），p_B（x）$相对于同一度量$ \ mu（x）$。

您还具有加权函数$ w_1（x），w_2（x）：\ Omega \ rightarrow [0,1]，w_1（x）+ w_2（x）= 1 $以及$ n $独立且相同地分布（ iid）对$ x_ {p_L，i}进行采样：i = 1，...，n $根据$ p_L $和$ m $ iid样本$ x_ {p_B，j}：根据$ p_B $ j = 1，...，m $，我们可以将MIS结合使用Monte Carlo来估计积分$ I $：
$$ I = \ int_ {\ Omega} {f（x）\，d \ mu（x）} = \ int _ {\ Omega} {f（x）（w_1（x）+ w_2（x））\，d \ mu（x）} \\
= \ int _ {\ Omega} {\ frac {w_1（x）f（x）} {p_L（x）} p_L（x）\，d \ mu（x）} + \ int _ {\欧米茄} {\ frac {w_2（x）f（x）} {p_B（x）} p_B（x）\，d \ mu（x）} \\
= E \ left [\ frac {w_1（ X_ {p_L}）f（X_ {p_L}）} {p_L（X_ {p_L}）} \ right] + E \ left [\ frac {w_2（X_ {p_B}）f（X_ {p_B}）}
{p_B（X_ {p_B}）} \ right] \\
= \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} {E \ left [\ frac {w_1（ X_ {p_L，i}）f（X_ {p_L，i}）} {p_L（X_ {p_L，i}）} \ right]} + \ frac {1} {m} \ sum_ {j = 1} ^ { m} {E \ left [\ frac {w_2（X_ {p_B，j}）}
{p_B（X_ {p_B，j}）} \ right]} \\
= E \ left [\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_1（X_ {p_L，i}）f（X_ {p_L，i}） } {p_L（X_ {p_L，i}）}} \ right] + E \ left [\ frac {1} {m} \ sum_ {j = 1} ^ {m} {\ frac {w_2（X_ {p_B， j}）f（X_ {p_B，j}）}
{p_B（X_ {p_B，j}）}} \ right] \\
有了这个结果，首先要注意的是，两个pdf都是相对于同一度量$ \ mu（x）$定义的。但是，我相信在您的代码和概述中，您是针对面积$ p_L $采样的pdf是相对于面积度量定义的，而针对brdf $ p_B $采样的pdf是针对立体角度度量而定义的。两者之间的关系是$ d \ sigma（x \ rightarrow y）= \ frac {\ cos \ theta_y} {|| xy || ^ 2} dA（y）$，其中$ x \ in \ mathbb {R} ^ 3 $是您要为其计算照明的当前点（即您的交点），而$ y \ in \ mathbb {R} ^ 3 $是某些光源表面上的一个点。另外$（x \ rightarrow y）= \ frac {yx} {|| yx ||} $只是从$ x $到$ y $的单位方向向量，$ \ cos \ theta_y = n_y \ cdot（y \ rightarrow x）$是光表面的正常$ n_y $（也是单位长度）在$ y $和$-（x \ rightarrow y）$之间的夹角余弦。更具体地说，您作为light pdf生成的东西实际上是选择light $ weights [i] / sum $的概率乘以在光源上均匀选择了您选择$ 1 / area $的点的概率。您的代码和概述中似乎缺少对面积（或反之亦然）的立体角转换，也就是说，您的pdf是相对于面积度量的，而您将它与pdf（brdf）结合是相对于面积的立体角测量，从我上面的推导中可以明显看出这是错误的。要获得相对于面积度量而不是立体角度量的brdf pdf，可以使用：$ p _ {\ omega}（\ omega）\，d \ sigma（\ omega）= p_A（y）\，dA（y ）$，然后使用度量$ p_A（y）= p _ {\ omega}（\ omega）\，d \ sigma（\ omega）/ dA（y）= p _ {\ omega}（\ omega）\ frac之间的关系{\ cos \ theta_y} {|| xy || ^ 2} $。您可以参考[MIS，2.3]公式（9）。\ approx \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_1（x_ {p_L，i}）f（x_ {p_L，i}）}} {p_L（x_ {p_L ，i}}}}
+ \ frac {1} {m} \ sum_ {j = 1} ^ {m} {\ frac {w_2（x_ {p_B，j}）f（x_ {p_B，j }）}
{p_B（x_ {p_B，j}）}}
$$
由于$ w_1（x）+ w_2（x）= 1 $，第二个等式成立的地方第四项来自期望值的定义，第五项成立，因为$ X_ {p_L，i} $是根据$ p_L $独立且相同地分布（iid），而类似地，$ X_ {p_B，i} $是iid根据$ p_B $。由于期望的性质（因积分是线性算子这一事实而产生），第六个成立。最后的近似等式来自于强大的大数定律（样本的平均值几乎可以肯定地收敛到期望值，并且样本数达到无穷大）。


现在在实际操作中，您需要知道何时应用误称。有几种情况发生。最初，对于第一束光线，您不应该使用MIS，因为您不应该直接对任何光线进行采样。此外，如果最后一次反射是完全确定性的（理想的反射/折射），则也不应使用MIS，因为在这种情况下对光进行采样是没有用的。最后，如果您通过对bsdf进行采样击中了灯光，则应使用MIS来添加此贡献，然后将bsdf pdf转换为面积测量值，然后通过使用light pdf和使用渲染方程的面积公式估算器。对灯光进行采样时，还应该使用MIS，再次计算面积公式估算器。最后，如果您有点光源，则只能通过NEE进行采样，因此您不应该使用MIS。另外，“从那以后，我开始进行BRDF采样。”我对您的解释一无所知。

#2 楼

许多人都对直接照明的MIS犯错的第一件事是，对于光采样和BSDF采样，必须始终考虑相同的光源。例如，如果您在光采样期间对光$ L_i $进行采样，并且从BSDF采样中产生的光线命中$ L_j $，则您无法将它们混合在一起，因为不能将概率一起用于权重。