关于2个空间信号的协方差矩阵的问题

#1 楼

如果每个$ N $元素都有两个信号向量$ x_1 [n] $和$ x_2 [n] $，那么我们可以考虑两种不同的方法。


如何做数量$ \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N x_i [n] x_j [n]，〜i，j \ in \ {1,2 \} $比较吗？尤其是，当信号嘈杂且噪声可以被认为是共同平稳（或共同广义平稳）时，这些量可用于估计两个信号的噪声方差以及协方差任何固定采样时间的噪声。这就是您从$ 2 \ times2 $
协方差矩阵
$$ R_ {2 \ times 2} = \ left [\ begin {matrix} \ sigma_1 ^ 2＆C \\
C＆\ sigma_2 ^ 2 \ end {matrix} \ right]。$$
$ x_1 [n] $中的噪声具有方差
$ \ sigma_1 ^ 2 = R_ {1， 1} $，可能与$ R_ {2,2} = \ sigma_2 ^ 2 $不同，即噪声的方差$ x_2 [n] $。但是，噪声与协方差$ R_ {1.2} = R_ {2,1} = C $相关。现在，如果我们计划只处理$ n $发生的事情，而忽略$ n-1 $或$ n + 1 $
等发生的事情，那么这就是全部我们需要的信息。
除非已知噪声是（或假设是）白噪声，否则来自不同采样时刻的噪声采样是独立的（因此是不相关的）
，或者我们只是假设不相关的噪声样本，我们忽略了一些信息，而没有考虑$ x_1 [n] $和$ x_1 [m] $之间的相关性，
来自同一过程的采样在不同时间或位置，以及$ x_1 [n] $和$ x_2 [m] $（两个过程在不同时间或位置的采样）之间的相关性。这些额外的信息可能会导致更好的估计/解决方案。
现在我们总共有$ 2N $噪声样本，
因此需要考虑$ 2N \乘以2N $的协方差矩阵。如果我们按照作者的方式安排事情很重要，那么我们有
$ R _ {\ text {full}} = E [XX ^ T] $其中
$$ X =（x_1 [1]，x_1 [2]，\ ldots，x_1 [N]，x_2 [1]，x_2 [2]，\ ldots，x_2 [N]）^ T
=（\ mathbf x_1，\ mathbf x_2）^ T $$
等等
$$ R _ {\ text {full}} = \ left [
\ begin {matrix} R _ {\ mathbf x_1，\ mathbf x_1}和R _ {\ mathbf x_1，\ mathbf x_2} \\
R _ {\ mathbf x_2，\ mathbf x_1}和R _ {\ mathbf x_2，\ mathbf x_2} \ end {matrix}
\ right] $$其中$ R _ {\ mathbf x_i，\ mathbf x_j} = E [\ mathbf x_i \ mathbf x_j ^ T] $。
请注意，$ R _ {\ mathbf x_i，\ mathbf x_j} $本质上是$（x_i [1]，x_i [2]，\ ldots，x_i [N]）$
和$（x_j [1]的自相关函数，如果$ i = j $。如果除$ n = m $以外，噪声过程为白色且不相关，则
$$ R _ {\ text {full}} \ rightarrow R _ {\ text {simple}} = \ left [\开始{矩阵} \ sigma_1 ^ 2I和CI \\
CI＆\ sigma_2 ^ 2I \ end {matrix} \ right] $$
其中$ I $是$ N \ times N $身份矩阵，而
$ \ sigma_1 ^ 2， \ sigma_2 ^ 2 $和$ C $的定义如上文第1项。
最终用户需要确定此噪声模型的逼真度。如果模型是实际的，则通过查看$ 2N \乘以2N $矩阵$ R _ {\ text {full}} $
不会得到任何结果，因为其中存在所有信息
上面第1项的$ 2×2 $矩阵$ R_ {2×2} $。如果模型是不现实的，则同上，但我们不打算（或无法）使用完整的
$ 2N \乘以2N $矩阵中的所有信息$ R _ {\ text {full}} $;我们将只用$ \ sigma_1 ^ 2，\ sigma_2 ^ 2 $和$ C $的第1部分做
，而我们不需要$ R _ {\ text {full}} $或$ R _ {\ text {simple}} $，
只是$ R_ {2 \ times 2} $。

评论

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$ \ begingroup $
谢谢。首先，难道（1）中的sigma不应该说从n = 0到N-1吗？ （不是从i = 1到n）。
$ \ endgroup $
–太空
2012年1月2日于22:32

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$ \ begingroup $
我不确定我是否仍然了解我们这样做的原因。您是在说（1），因为两个向量中的噪声都是彼此完全独立的，所以我们必须使用该方法，从而获得2x2的协方差矩阵，但是在第二种情况下，（2）向量中的噪声不是独立的，我们必须将两个向量连接起来，然后计算它们的协方差矩阵？为什么呢恐怕我仍然不明白这里的动机...
$ \ endgroup $
–太空
2012年1月2日于22:35

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$ \ begingroup $
谢谢，我会再读一遍。同样，sigma的下标必须为“ n”，而不是“ i”。
$ \ endgroup $
–太空
2012年1月3日，下午1:22

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$ \ begingroup $
明天我将记下更多问题/评论，但现在，$ R_2 {} _ x {} _ 2，R _ {\ text {full}} $和$ R_ {的“正式”名称是什么\ text {simple}} $？我无法想象它们都被称为“协方差矩阵”，因为这会导致混乱（这是该问题的主要动机）。他们通常指的是什么？
$ \ endgroup $
–太空
2012年1月3日7:37

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$ \ begingroup $
1）“可以被认为是共同静止的（或共同广义意义上的静止的）”在这里，您是说$ x_1 $和$ x_2 $是否都是独立的吗？ 2）“估计两个信号的噪声方差以及在任何固定采样时间的噪声协方差。”这里的“在任何固定采样时间”是什么意思？为了计算2x2，我们使用了两个信号的所有时间样本... 3）“现在我们总共有2N噪声样本，”我想我不明白我们可以简单地将两个空间连接起来的正确性这样的信号。为什么我们“允许”这样做？
$ \ endgroup $
–太空
2012年1月4日在2:40

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