FIR滤波器需要多少抽头？

#1 楼

引用贝兰格经典的信号数字处理技术-理论和实践，重点不是您的截止频率所在，而是您需要多少衰减，想要保留多少信号波纹才能容忍，最重要的是，缩小从通带到阻带的过渡范围（过渡宽度）。

我假设您需要一个线性相位滤波器（尽管您指定了最小延迟，但一般来说，除非您完全了解所要解决的问题，否则我认为最小相位滤波器并不是一个好主意然后再处理您的信号）。在这种情况下，筛选顺序（抽头数）为

$$ N \ approx \ frac 23 \ log_ {10} \ left [\ frac1 {10 \ delta_1 \ delta_2} \ right] \，\ frac {f_s} {\ Delta f} $$

和

$$ \ begin {align}
f_s＆\ text {采样率} \\
\ Delta f＆\ text {过渡宽度，} \\
＆\ text {即通带结束和阻带开始之间的差异} \\
\ delta_1＆\ text {通带中的波纹，} \\
＆\ text {即“您可以承受多少原始振幅变化”} \\
\ delta_2＆\ text {阻带中的上限}。
\ end {align} $$

让我们插入一些数字！您指定的截止频率为$ \ frac {f_s} {100} $，所以我继续说您的过渡宽度将不超过其一半，因此$ \ Delta f = \ frac {f_s } {200} $。

来自SDR / RF技术的60 dB抑制通常就足够了–硬件，没有疯狂的成本，在阻止不必要的信号进入您的输入方面将更好，所以，让我们不要浪费CPU具有出色的过滤器，比您的硬件可以做的更好。因此，$ \ delta_2 = -60 \ text {dB} = 10 ^ {-3} $。

假设您可以使通带的幅度变化为0.1％（如果可以的话）如果数量更多，还可以考虑降低抑制要求的严格程度）。那就是$ \ delta_1 = 10 ^ {-4} $。

因此，将其插入：

$$ \ begin {align}
N_ \ text {Tommy's filter}＆\ approx \ frac 23 \ log_ {10} \ left [\ frac1 {10 \ delta_1 \ delta_2} \ right] \，\ frac {f_s} {\ Delta f} \\
＆= \ frac 23 \ log_ {10} \ left [\ frac1 {10 \ cdot 10 ^ {-4 } \ cdot10 ^ {-3}} \ right] \，\ frac {f_s} {\ frac {f_s} {200}} \\
＆= \ frac 23 \ log_ {10} \ left [\ frac1 {10 \ cdot 10 ^ {-7}} \ right] \，200 \\
＆= \ frac 23 \ log_ {10} \ left [\ frac1 {10 ^ {-6}} \ right] \ ，200 \\
＆= \ frac 23 \ left（\ log_ {10} 10 ^ 6 \ right）\，200 \\
＆= \ frac 23 \ cdot 6 \ cdot 200 \\
＆= 800 \ text {。}
\ end {align} $$

因此，只要使用200个抽头，通频带就非常窄

请注意，这不一定是问题-首先，一个800抽头的过滤器很可怕，但坦率地说，只有乍一看：正如我在StackOverflow上的此答案中所测试的那样：如果您使用某人针对CPU优化的FIR实现，那么CPU的速度很快。例如，我将GNU Radio的FFT-FIR实现与上面的滤波器规范一起使用。我每秒获得1.41亿个样本的性能-可能对您来说可能不够。因此，这是我们针对问题的测试用例（花了我几秒钟的时间）：

抽取：如果仅保留输入带宽的一小部分，则滤波器的输出将大大过采样。引入$ M $的抽取意味着您的滤波器不会给您所有输出样本，而是给每个$ M $个采样–通常会导致很多混叠，但是由于您要消除所有可能的混叠信号别名，您可以轻松地这样做。聪明的滤波器实现（多相抽取器）可以通过这种方式将计算量减少M。在您的情况下，您可以轻松地将$ M = 50 $进行抽取，然后，您的计算机将只需要为每个输入样本计算$ \ frac {1200} {50} = 24 $乘法/累加-容易得多。 GNU Radio中的过滤器通常确实具有该功能。这样一来，即使在FFT FIR中（这对多相抽取器的实现也不太好），我也可以将性能提高2倍。不能做更多的事情。根据我的经验，这与系统上的RAM带宽非常接近。对于
延迟：不要在意。确实如此，除非您需要。您是用典型的音频采样率执行此操作的吗？请记住，$ 96 \，\ frac {\ text {kS}} {\ text {s}} \ overset {\ text {ridiculously}} {\ ll} 141 \，\ frac {\ text {MS}} {\ text { s}} $上面提到的。因此，计算滤波器输出所花费的时间仅与MS / s实时信号流有关。对于具有离线数据的DSP：好吧，为与滤波器并行补偿的任何信号增加延迟。 （如果您的滤波器是线性相位，则其延迟将是滤波器长度的一半。）这可能与FIR滤波器的硬件实现有关。
硬件实现：因此，也许您的PC或嵌入式设备的CPU和OS确实不允许您满足延迟限制，因此您正在研究FPGA实现的FIR。您会注意到的第一件事是，对于硬件，存在不同的设计范式–“我抑制了所有东西，但输入速率的$ \ frac1 {100} $除外”过滤器需要较大的位宽来处理要处理的定点数在硬件中（与CPU上的浮点数相对）。因此，这就是为什么通常将那个滤波器分成多个，级联的，较小的抽取FIR滤波器的第一个原因。另一个原因是，您可以在每个级联“步骤”中以较低的速率运行乘法器（通常是“ DSP Slice”），因此可以使用一个乘法器对它们进行复用（DSP Slice的数量通常非常有限）多次点击。另一个原因是，特别是半带滤波器，即抑制一半输入频带并提供一半输入速率的低通滤波器，可以非常有效地在硬件中实现（因为它们的抽头一半为零，这在硬件中很难利用） CPU / SIMD实现）。

#2 楼

为了快速而实际地进行估算，我喜欢弗雷德·哈里斯（Fred Harris）的经验法则：

$$ N_ {taps} = \ frac {Atten} {22 * B_T} $$

其中：

Atten是所需的dB衰减，

$ B_T $是归一化的过渡带$ B_T = \ frac {F_ {stop}-F_ {pass}} {F_s} $，

$ F_ {stop} $和$ F_ {pass} $是阻带和通带频率，单位为Hz和

$ F_s $是以Hz为单位的采样频率。

这与通带纹波为0.1 dB的线性相位滤波器的结果非常接近。我经常使用此经验法则来初步了解所需的抽头数量，然后在滤波器设计过程中通过迭代进行修改。

还应注意：此经验法则可深入了解真正驱动抽头数量的因素：阻带衰减和过渡带的陡度（以及通带波纹，但通常至少）对于我不得不为无线通信应用设计的滤波器，衰减要求将主要取决于纹波。因此，您在确定Fs / 100截止时的问题就缺少了需要多快的时间才能过渡到阻带。

示例：60 dB衰减，$ F_s $ = 100KHz，$ F_ {pass} $ = 1KHz，$ F_ {stop} $ = 3KHz

$ N_ {taps} = \ frac {60} {22 * 2/100} = 137 $抽头（四舍五入）

使用这些数字还可以证明通过抽取方法在减少处理量方面的重要性。 >

#3 楼

除了接受的答案，还有一些其他参考。我不会写可能涉及的公式。这些公式主要产生经验法则或近似值。您可以在实际设计中随意修改这些数字。欧元。 Conf。电路理论设计，M。Bellanger。这是很难获得的，但是是可行的。有趣的是，它还指定了公式来评估每个系数的位数，在有限算术实现中应考虑这些公式。法语中一个更易于访问的版本是：1982年，《综合评价》。

在有限脉冲响应滤波器设计中收集了其他公式，《数字信号处理手册》，1993年，T。Samamaki。

最近，您可以阅读有关最佳FIR数字滤波器的最小滤波器长度的准确估算，2000年，K。Ichige等人。
使用l0范数优化的具有最小过滤器阶数的过滤器，2014年提出了一种设计，其中阶数逐渐减小。

#4 楼

我认为确实没有确定的最低分接头数。通过凸优化生成FIR滤波器是很常见的，例如
$$
\ text {minimize} \ \ text {max} \ left（\ left | H（\ omega）\ right | \ right ）\ text {适用于所有}} omega \ text {在禁带中}}左| H（\ omega）\右| \ leq \ delta \ text {对于所有}} \ omega \ text {在通带中}进行优化，因为异频采样行为可能会导致不良影响。配合的良好程度当然取决于抽头的数量。我猜您可以说，最小抽头是问题变得不可行时。因此，一种解决方案是解决可行性问题。