具有重叠效果的多个控制回路

#1 楼

通常，对于多输入多输出（MIMO）系统，控制工程师会使用状态反馈控制器。这种样式的控制器利用系统的状态空间模型，通常采用以下形式：

$$
\ dot {x} = \ mbox {A} x + \ mbox {B} u \\
y = \ mbox {C} x + \ mbox {D} u \\
$$

其中$ x $是状态向量，$ u $是输入的向量，$ y $是输出的向量，状态的时间导数$ \ dot {x} $显示状态如何随时间演变，由状态$ \ mbox { A} $，然后输入$ \ mbox {B} $。输出也由状态和输入之间的交互作用确定，但是输出可以是任何组合，因此输出状态和输入矩阵是不同的-$ \ mbox {C} $和$ \ mbox {D} $。

我不会在状态反馈控制方面做大量的介绍，但是总的来说，矩阵$ \ mbox {A} \ rightarrow \ mbox {D} $“ map”或关联一个特定状态或输入到另一个状态或输入。例如，如果要对不相关的微分方程组建模，将得到类似以下内容的东西：

$$
\ dot {x} = \ left [\ begin {array} { ccc}
\ dot {x} _1 \\
\ dot {x} _2 \\
\ dot {x} _3 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc}
k_1＆0＆0 \\
0＆k_2＆0 \\
0＆0＆k_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \ end {array} \ right]
$$
代表：
$$
\ dot {x} _1 = k_1 x_1 \\
\ dot {x} _2 = k_2 x_2 \\
\ dot {x} _3 = k_3 x_3 \\
$$

如果要将输入$ u_1 $添加到$ \ dot {x} _1 $的等式中，然后将$ u_2 $输入到$ \ dot {x} _3 $，则可以添加$ \ mbox {B} u $术语：

$$
\ dot {x} = \ left [\ begin {array} {ccc}
\ dot { x} _1 \\
\ dot {x} _2 \\
\ dot {x} _3 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc}
k_1＆0＆0 \\
0＆k_2＆0 \\
0＆0＆k_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc}
1＆0 \\
0＆ 0 \\
0＆1 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc}
u_1 \\
u_2 \ end {array} \ right]
$$

如果您想保留此内容，但您认为状态$ x_1 $会影响$ x_2 $的更改方式，则可以添加该交互： $$
\ dot {x} = \ left [\ begin {array} {ccc}
\ dot {x} _1 \\
\ dot {x} _2 \\
\ dot {x} _3 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ccc}
k_1＆0＆0 \\
\ boxed {k_ {x_1 \ rightarrow x_2}}＆k_2＆0 \\
0＆0＆k_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc}
x_1 \\
x_2 \ \
x_3 \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {ccc}
1＆0 \\
0＆0 \\
0＆ 1 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc}
u_1 \\
u_2 \ end {array} \ right]
$$

现在将其写出后，您将得到：

$$
\ begin {array} \\
\ dot {x} _1＆=＆k_1 x_1 + u_1 \\
\ dot {x} _2＆=＆k_ {x_1 \ r ightarrow x_2} x_1 + k_2 x_2 \\
\ dot {x} _3＆=＆k_3 x_3 + u_2 \ end {array}
$$

您可以继续建立系统需要的复杂性。有了模型后，对于状态反馈控件，您需要确保系统是线性的，因为系统没有触发函数或一个自身相乘的状态或另一个状态，并且要确保其是时不变的，因为矩阵$ \ mbox {A} \ rightarrow \ mbox {D} $不会随时间变化-在其中没有（t）的功能。您可能可以进行一些简化，例如小角度近似，以帮助将$ \ mbox {A} $矩阵转换为下一步所需的LTI形式。

现在，您可以将整个系统“屏蔽”到首先显示的两个方程中，用字母“ A”隐藏整个$ \ mbox {A} $矩阵，等等。使用Laplace变换，您可以（手波）求值系统不受控制的开环动力学。您可以通过找到系统的极点来完成此操作，这些极点表示系统的响应。

您还可以评估系统，以查看系统是否可控，这意味着您可以使用输入以独特的方式更改所有状态，并查看系统是否可观察，这意味着您可以实际上可以确定状态的值是什么。

如果系统是可控制的，则可以获取有关状态的信息$-\ mbox {G} x $，并使用有关状态的信息来将其输入系统达到理想值。为了清楚起见，仅使用两个初始方程式，将控制信号添加到输入时，您将得到：

$$
\ dot {x} = \ mbox {A} x + \ mbox {B}（u-\ mbox {G} x）\\
y = \ mbox {C} x + \ mbox {D} u \\
$$

变为：

$$
\ dot {x} = \ mbox {A} x-\ mbox {BG} x + \ mbox {B} u \\
$$

，可以重新排列为：

$$
\ dot {x} = [\ mbox {A}-\ mbox {BG}] x + \ mbox {B} u \\
$$

在以前，系统响应是由$ \ mbox {A} $矩阵驱动的，而现在它是由$ \ mbox {A-BG} $驱动的。您可以再次通过拉普拉斯变换评估极点，但是现在有了增益矩阵$ \ mbox {G} $，您可以用来调整控制器，将极点放置在任意位置，从而将时间响应设置为所需。

该过程继续进行，观察者进行设置以将实际系统输出$ y $与模型的预测输出$ \ hat {y} $进行比较。在这里需要特别注意的是，输出不必与状态微分方程中使用的状态相同。在这些状态中，状态可能是电流，输出可能是电压（$ R \ I ），因此您可以与实际系统上的可测量信号进行比较。

就像我说的那样，建模系统和状态反馈控制器的设计涉及大量信息，我只是概述了一般过程，因为我认为这是您所要解决的问题。