（免责声明：这不是通信问题）。
我正在尝试估计真实的周期性信号的基频。通过将原始信号与脉冲信号进行匹配滤波来构造此信号。 （匹配的过滤器）。产生的信号具有以下特征：
它是周期性的。 （基本为1 /周期），这就是我试图估计的值。
时间不固定。具体地，周期脉冲的幅度可以在幅度上变化。 （例如，一个脉冲可能很低，而另一个脉冲可能又高，而下一个脉冲又很低，一个在该介质之后等等）。 ，但不会更改乐队）。
它具有谐波失真。我的意思是，（如果我做错了，请纠正我），但是信号中的单个脉冲不是正弦波，而是“笨拙”的形状，例如高斯，三角形，半抛物线等。
我正在尝试估计该信号的基本频率。
当然，有时原始信号不过是噪声，但它仍会通过路径并经过匹配滤波。 （稍后会详细介绍。）
我已经尝试过：
现在，我知道许多基本频率估算器，例如
自相关方法
YIN及其所有依赖项
等，
YIN：我还没有尝试过YIN。
FFT方法：FFT方法将为您提供所有谐波和基波，但是我已经注意到，尤其是对于这种非平稳业务，它可能是挑剔的，因为基波并不总是最高峰。很快，您会发现自己试图确定多个峰中的哪个峰是基本峰，这成为一个难题。
自相关：自相关方法似乎比FFT方法要好，但是它仍然对时域信号的幅度不规则敏感。自相关方法测量中心波瓣到下一个最高波瓣之间的距离。该距离对应于基本距离。但是，在非平稳情况下，该副瓣可能会太低，您可能会在某些阈值方案中错过它。
然后我想到也许我可以使用MUSIC这样的子空间方法来估计基本面。经过测试，我发现它确实确实给出了一些非常不错的结果-它在与信号基频相对应的频率处稳健地（甚至在非平稳情况下）达到峰值。 （将您要查找的信号数设置为2，它将检索基本信号-即，选择信号协方差矩阵的2个最高特征向量（对应于特征值的最大值），丢弃它们，然后构造从剩余的噪声子空间中，将假设的复杂正弦曲线投射到它们上面，取倒数，瞧，这是一个很好的伪频谱）。
问题与解答：
话虽如此，我仍然想理解为什么这样做会更好。
在MUSIC中，我们丢弃信号子空间并使用噪声子空间。在我看来，信号子空间的特征向量实际上是某种“最适合”的-实际上它们是最佳匹配滤波器。因此：为什么不直接使用信号子空间特征向量呢？ （我知道它不再是MUSIC了，但是为什么使用噪声子空间会更好呢？）
最后，最后一个问题是，尽管这种方法似乎对于非平稳信号（如上所定义）的鲁棒性更高，但问题是，即使系统中只有噪声，我现在也总是会得到答案！ （如上所述，当您没有周期性信号时，原始的预匹配滤波信号有时可能只是白噪声）。
可能存在哪些方法来抵消这种情况？我尝试查看特征值，在仅存在噪声VS且存在信号的情况下，它们的衰变还有更多“曲率”，但我担心它可能不够鲁棒。
奖金：
什么时候协方差矩阵的特征向量正弦于VS？是什么决定它们是否是正弦曲线？他们为什么不摆正呢？还是在此处插入其他形状的信号？
#1 楼
当过程静止时，自相关矩阵被正弦曲线对角线化，这是因为协方差算子是平稳过程的卷积。更严格的证明是$$ f（t，s）= Cov（X（t），X（s））= Cov（X（tu），X（su））= f（tu，su ）$$，这尤其意味着$ f（t，s）= f（ts，0）$也是$ ts $的正次半函数，因此根据Bochner定理，我们有$$ Cov（X（s）， X（t））= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {i（st）x} d \ mu（x）$$证明了这一主张。
直觉是为信号中的某些有限观测值估计的自相关矩阵渐近地表现类似于循环矩阵，因为其相关性仅取决于时间差，而不是取决于绝对位置，循环矩阵具有离散的正弦曲线作为它们的特征向量（因为它们是卷积算符）。有很多证明，这是一个粗略的直觉。
正弦对角化的自相关函数集恰好对应于平稳过程，但是许多其他过程的自相关函数在一定间隔内近似正弦对角化。这些过程对应于可以在一定时间间隔内通过平稳过程近似的过程。此处有更多详细信息。
一般的非平稳过程可以具有不需要被正弦曲线对角化的自相关函数。
局部平稳过程要么具有缓慢变化的频谱和/或频谱中少量间隔良好的突变。语音，动物的噪音，音乐和许多其他自然声音都符合此描述。据我了解，子空间识别算法之所以起作用，是因为我们分析的信号类型通常具有某种形式的局部平稳性（不严格）。
评论
$ \ begingroup $
答案对每个人都有利。博纳的定理是对更为熟悉的维纳·金钦的一个概括，这毫无价值。 $ \ mu $是频谱密度。
$ \ endgroup $
–埃姆雷
2012年5月31日20:09
$ \ begingroup $
@MarkS非常感谢。我有一些跟进：1）基于此，我们可以说一个过程在其协方差矩阵的特征向量是正弦的情况下是平稳的吗？这可以算是一种平稳性的量度吗？ 2）您提到“ ...，循环矩阵具有离散正弦曲线作为其特征向量（因为它们是卷积算符）...”我不清楚这是什么意思-算符？能否请您澄清一下。 3）当您说“自相关函数集”时，您是在谈论协方差矩阵的行？再次感谢。
$ \ endgroup $
–太空
2012年6月1日下午16:14
$ \ begingroup $
@Mohammad Cheers：1）是的，可以粗略地认为这是平稳性的一种度量。 2）一个向量的所有循环置换形成一个循环矩阵，因此将循环矩阵乘以另一个向量就是这两个向量之间的卷积。 3）自相关函数Corr（s，t）是某个随机过程X的X（s）与X（t）之间的自相关。之所以称其为函数是因为我想同时处理连续和离散情况。样本自相关矩阵可以看作是对该函数的离散近似。
$ \ endgroup $
– Mark S
2012年6月1日19:42
$ \ begingroup $
@Emre感谢您指出了Wiener-Khinchin_theorem，我首先在小组学习了傅立叶分析，但从未在信号处理课程中正式介绍过它。
$ \ endgroup $
– Mark S
2012年6月1日19:48
评论
穆罕默德-您能否进行一些编辑/澄清？我可以成为术语的忠实拥护者，但这对未来的访问者来说很重要。除了“干净”之外，还可以说谐波失真。您可以说是周期性的，而不是重复的。固定的可以指时变统计或时变频谱。你能澄清一下吗？自相关方法是Yule-Walker方法的别名。当您说“信号数量”时，这是真正的正弦曲线还是复杂的指数？可以使用最大值特征值吗？等级在线性代数中还有其他含义。与“最高方差”相同......（续）重要的一件事（我会在澄清时在回答中记下这一点）是MUSIC方法是噪声子空间方法。因此，理想情况下，不使用具有最大特征值的信号子空间特征向量。同样，如果您的信号是周期性的，则它是正弦波的总和。如果它是周期性的，则可以由傅立叶级数定义，该傅立叶级数是离散正弦波的总和。
@Bryan对不起，您很晚才回来（很长的周末），实际上我会尽快修改整个问题，并让您知道-谢谢！
@Bryan我终于修改了整个帖子，添加了您的建议，还澄清了许多上下文/问题。请参阅。一定要让我知道我是否可以澄清其他问题。
@Mohammad是否可以通过特征向量的“强度”（即特征值）来识别是否存在信号？