均匀随机抽样PDF在路径跟踪器中的作用

Vec3<float> randomPoint() const
{
    float x;
    float y;
    float z;

        // random vector in unit sphere
    do
    {
        x = ((float)rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;           // random coordinates between -1 and 1
        y = ((float)rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
        z = ((float)rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    } while (pow(x, 2) + pow(y, 2) + pow(z, 2) > 1);        // simple rejection sampling

    return centerOfSphere + Vec3<float>(x, y, z) * radius;
}

#1 楼

首先，正如@trichoplax正确指出的那样，您的randomPoint函数将计算多维数据集中的一个点，然后使用拒绝采样返回单位球体内的所有点。为了返回球体上的点，您需要将“大于”更改为“等于”。也就是说，剔除采样效率非常低。

一种更好的球形采样方法是在球形空间中采样，然后转换为笛卡尔坐标。即：

float phi = PI * randf();
float theta = 2 * PI * randf();    

float x = radius * std::sinf(phi) * std::sinf(theta);
float y = radius * std::cosf(phi);
float z = radius * std::sinf(phi) * std::cosf(theta);

但是，这是不均匀的，会导致样品在两极聚集。为了防止这种情况，我们转换phi： \ begin {align *}
\ sin（\ cos ^ {-1}（x））\ equiv＆\ \ sqrt {1-x ^ 2} \\
\ cos（\ cos ^ {- 1}（x））\ equiv＆\ x \\
\\
\ phi =＆\ \ cos ^ {-1}（2 \ xi-1）\\
\ sin（ \ phi）=＆\ sin（\ cos ^ {-1}（2 \ xi-1））\\
=＆\ \ sqrt {1-（2 \ xi-1）^ 2} \\
\ cos（\ phi）=＆\ 2 \ xi-1
\ end {align *} $$

所以完整的更改是：

float phi = std::acosf(2.0f * randf() - 1.0f);
float theta = 2 * PI * randf();    

但是，在下一个事件估计的情况下，对整个球体进行均匀采样效率不高，因为射线只能在一个位置“看到”球体的一半时间。因此，如果我们在球体的“背面”生成一个点，则球体将遮挡该点，并且您的计算将被浪费。

相反，您将生成一个圆锥形的样本，该样本涵盖了从射线的起点看是球体的圆。

float cosPhi = 2.0f * randf() - 1.0f;
float sinPhi = std::sqrt(1.0f - cosPhi * cosPhi);
float theta = 2 * PI * randf();    

float x = radius * sinPhi * std::sinf(theta);
float y = radius * cosPhi;
float z = radius * sinPhi * std::cosf(theta);

注意：x，y，z在局部坐标空间中。

因此我们需要转换为世界坐标：

// Sample sphere uniformly inside subtended cone
float rand1 = randf();
float rand2 = randf();

// Compute theta and phi values for sample in cone
float distanceSquared = DistanceSquared(rayOrigin, sphereCenter);

// We use geometry to calculate the angle of the cone (aka, the maximum phi can be when we sample)
// It's easier / cheaper to use geometry to calculate sin/cos phi directly, rather than generating phi and using sin/cos
float sinPhiMaxSquared = radius * radius / distanceSquared;
float cosPhiMax = std::sqrt(1.0f - sinPhiMaxSquared);
float cosPhi = (1.0f - rand1) + rand1 * cosPhiMax;
float sinPhi = std::sqrt(1.0f - cosPhi * cosPhi);

// Phi can be anything in 2 PI
float theta = 2 * PI * rand2;

float x = radius * sinPhi * std::sinf(theta);
float y = radius * cosPhi;
float z = radius * sinPhi * std::cosf(theta);

pdf的计算公式如下：
此处的代码在很大程度上受PBRT v3的影响/复制。它们具有用于从形状采样的一系列类和函数。



最后是pdf。在蒙特卡洛集成中，我们需要对我们进行的每个集成的pdf进行合并。在路径跟踪中，我们可以集成很多东西。例如，一般的渲染方程式对半球上的入射光进行积分，视场深度可以视为焦距上的积分，等等。分为两个整数，即直接照明和间接照明。

标准渲染公式：
$$ L _ {\ text {o}}（p，\ omega _ {\ text {o}}） = L_ {e}（p，\ omega _ {\ text {o}}）\ + \ \ int _ {\ Omega} f（p，\ omega _ {\ text {o}}，\ omega _ {\ text {i}} ）L _ {\ text {i}}（p，\ omega _ {\ text {i}}）\ left | \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ right | d \ omega _ {\ text {i}} $$

下一个事件估计：
$$ L _ {\ text {o}}（p，\ omega _ {\ text {o}} ）= L_ {e}（p，\ omega _ {\ text {o}}）\ + \ \ int _ {\ Omega} f（p，\ omega _ {\ text {o}}，\ omega _ {\ text {i} }）L _ {\ text {i，direct}}（p，\ omega _ {\ text {i}}）\ left | \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ right | d \ omega _ {\ text {i}} \ \ + \ \ int _ {\ Omega} f（p，\ omega _ {\ text {o}}，\ omega _ {\ text {i}}）L _ {\ text {i ，间接}}（p，\ omega _ {\ text {i}}）\ left | \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ right | d \ omega _ {\ text {i}} $$

在简单的朴素前向路径跟踪中，所有内容都被视为间接光源。在下一个事件估计中，我们直接计算直接照明并将其添加到间接照明中。而且，如果我们击中一盏灯，我们将忽略直接的贡献，因为我们正在计算直接照明。

由于我们有两个集成，所以每个集成都有自己的pdf。又名：
$$ L _ {\ text {o}}（p，\ omega _ {\ text {o}}）= L_ {e}（p，\ omega _ {\ text {o}}）\ \ + \ \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {f（p，\ omega _ {\ text {o}}，\ omega _ {\ text {i}}）L _ {\ text {i，direct}} （p，\ omega _ {\ text {i}}）\ left | \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ right | } {pdf_ {direct}} \ \ + \ \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {f（p，\ omega _ {\ text {o}}，\ omega _ {\ text {i}}） L _ {\ text {i，indirect}}（p，\ omega _ {\ text {i}}）\ left | \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ right | } {pdf_ {indirect}} $$

如果您想了解其实现方式，可以在此处查看我的实现。注意：我的灯光采样会稍微复杂一点，因为它会进行多个重要性采样。但这可能很简单：

float3 zAxis = normalize(sphereCenter - rayOrigin);
float3 xAxis;
if (std::abs(zAxis.x) > std::abs(zAxis.y))
    xAxis = float3(-zAxis.z, 0.0f, zAxis.x) / std::sqrt(zAxis.x * zAxis.x + zAxis.z * zAxis.z);
else
    xAxis = float3(0.0f, zAxis.z, -zAxis.y) / std::sqrt(zAxis.y * zAxis.y + zAxis.z * zAxis.z);
yAxis = cross(zAxis, xAxis);


float3 samplePoint = x * xAxis + y * yAxis + z * zAxis;