匹配的滤波器用于数字通信，以最大化信噪比。通常使用根升余弦滤波器对信号进行整形，因为它在频率空间中有界，并且可以将同一滤波器应用于接收到的信号以改善信噪比（SNR），而不会引起符号间干扰-干扰（ISI）。但是，如果使用不太理想的滤波器来整形信号，则在接收器处使用相同的滤波器会引入ISI。接收端滤波器的最佳选择是什么，目前还不是很明显。
我的理解是，通过最大化$ \ int {p（x（q）q（x）dx} $ ，因此我想在满足过滤器不引起ISI的约束的同时最大化此值（$ p（x）* q（x）= 0 $对于$ x = kT $，$ k $是整数，$ T $是符号宽度）。
大概可以通过求解带有一些拉格朗日乘数的约束的Euler-Lagrange方程来实现。有没有更简单的方法，还是我犯错了，还是走错了方向？
#1 楼
对于在AWGN信道上使用等概率符号进行线性调制的情况（非常常见的情况），最佳方法是真正使用与符号波形匹配的滤波器，即：q（x）= p（x）
$$
使用匹配的滤波器可在每个决策时刻在滤波器输出处提供最佳的信噪比。当您记得匹配的滤波器在其输入信号和预期的符号波形之间起滑动互相关器的作用时，很容易看到这一点，从而使两者在所有可能的滞后之间均相互关联。在最佳决策时刻，滤波器的脉冲响应（通常按比例缩放以具有单位能量）与所传输的符号精确对齐，类似于互相关运算中的零延迟条件。在此时间值处，滤波器的输出等于接收到的符号中的能量，并按与数据相关的因子进行缩放（例如，对于BPSK，匹配的滤波器将输出$ E_s $或$ -E_s $），再加上噪声
采样瞬间滤波器输出处的噪声能量不取决于滤波器脉冲响应的时域形状，而仅取决于脉冲响应的总能量（如前所述，通常为单位） 。因此，通过使采样时刻的滤波器输出中的信号能量最大，可以使信噪比最大。通过选择要与符号形状匹配的接收器滤波器，我们这样做了，因为符号波形与具有相同形状的滤波器脉冲响应具有最大的相关性。因此，对于AWGN信道情况，匹配滤波器可提供最大SNR。
挥手致意（您当然可以更加严格地掌握它，但是我是一名工程师，这是一项免费服务；如果您要深入研究细节，请查阅任何数字通信理论文字），您可能会以为我忘记了您询问的关于ISI的非理想案例。不用担心，因为我断言，如果您知道所发射的脉冲形状，则匹配滤波器仍然是AWGN通道的最佳选择。
关键：如果您知道脉冲整形和接收器检测滤波器$ p（x）$和$ q（x）$的响应，以及最后“很少”发送的符号，则可以计算由这些先前符号引起的ISI，并做出相应的解释；它是确定性的数量。您需要的符号历史记录的数量与您拥有的ISI的数量有关，即级联的滤波器响应会跨越多少个符号周期。
当然，您通常不确定地知道前面的几个符号是什么。如果您这样做了，那么您的信噪比可能很高，可以忽略您的ISI。在更有趣的情况下，您无法做出此假设。相反，使用维特比算法采用最大似然序列检测方法。此过程称为维特比均衡，因为在此模型中，您将由脉冲形状引起的ISI视为应用于发送波形的软值卷积码。维特比均衡器中ISI的持续时间定义了所需的算法状态数量，类似于卷积代码中的约束长度。
这种方法通常用于具有非最佳脉冲的系统中您注意到的形状；一个值得注意的例子是GSM（它使用跨多个符号间隔的高斯脉冲形状）。 Sklar于2003年出版了有关此主题的一本很好的参考书：
B. Sklar，“我如何学会爱网格”，IEEE信号处理杂志，第87-102页，2003年5月，
评论
$ \ begingroup $
好吧，让我尝试解释一下，以确保我理解：在任何实际情况下，最好使用匹配的滤波器，因为您始终可以通过维特比均衡摆脱ISI。
$ \ endgroup $
– gyroidben
2011年8月28日4:09
$ \ begingroup $
是的，我同意你的总结。
$ \ endgroup $
–Jason R
11年8月28日在20:30
$ \ begingroup $
+1提供了很好的事实答案。我还发现您的答案具有很高的技术含量，而且可读性强。如果可以的话，我还会再写+1来撰写出色的文章。仅供参考，我认为您需要阅读原始文章以了解更底层的数学/理论。
$ \ endgroup $
–特雷弗·博伊德·史密斯（Trevor Boyd Smith）
11年8月29日在12:57
$ \ begingroup $
@JasonR在应用维特比算法之前，是否不需要先知道通道中的抽头数量？
$ \ endgroup $
–太空
2011年11月4日，0：53
$ \ begingroup $
@Mohammad：是的，为了应用Viterbi算法，您需要一个模型来确定接收信号如何被破坏。在多径信道的情况下，将需要应用某种信道估计技术来获得该信息。这个问题要解决的情况与多径无关，而是与脉冲形状超出一个符号间隔的调制有关，从而引发了ISI。该干扰是通过系统的设计来解决的，因此，它是已知的，并且可以如上所述进行补偿。
$ \ endgroup $
–Jason R
2011年11月4日在1:49
评论
您是否假设是线性调制（例如PSK或简单PCM）？