为什么自相关的峰值达到零？

#1 楼

您是在寻找正式证明还是其背后的直觉？在后一种情况中：“没有什么比它自己更类似于一个函数了”。滞后$ \ tau $的自相关度量函数$ f $与移位$ \ tau $的相同函数之间的相似性。请注意，如果$ f $是周期性的，则$ f $偏移了$ \ tau $和$ f $的任何整数倍，因此自相关具有梳状形状-峰值位于周期的整数倍处，高度与中央峰。

#2 楼

非周期性离散时间有限能量信号的自相关函数由
$$ R_x [n] = \ sum_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x [m] x给出[mn] ~~~~ \ text {or} ~~~
R_x [m] = \ sum_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x [m]（x [mn]）^ * $$
分别用于实信号和复信号。为了便于说明，我们将自己限制在真实的信号上，
让我们考虑被乘数$ x [m] x [m-n] $。对于固定的
延迟$ n $和给定的$ m $，$ x [m] x [m-n] $
通常具有正值或负值。如果碰巧对于特定的延迟$ n $，$ x [m] x [mn] $对于所有的$ m $是非负的
，则总和中的所有项将相加（没有取消）
，因此保证$ R_x [n] $具有正值。实际上，如果$ x [mn] $中的所有峰与$ x [m] $中的峰
和$ x [mn] $中的谷峰对齐，则
总和最大。 />与$ x [m] $中的山谷对齐。例如，如果$ x $是过度采样的
sinc函数，则说
$$ x [m] = \ begin {cases} \ frac {\ sin（0.1 \ pi m）} { 0.1 \ pi m}，＆m \ neq 0，\\
1，＆m = 0 \ end {cases} $$
峰值在$ m = 0，\ pm 25，\ pm 45 ，\ ldots $和山谷
$ \ pm 15，\ pm 35，\ pm 55，\ ldots $ $ x（t）$，那么$ R_x [n] $将具有
最大值为$ n = 0，\ pm 25，\ pm 45，\ ldots $（并且出于同样的原因，
在$ n = \ pm 15，\ pm 35，\ pm 55，\ ldots $时具有最小值峰线
有谷）。当$ x [m] $和$ x [m-n] $的最高峰重合​​时，$ R_x [n] $的全局最大值显然处于延迟
$ n = 0 $。确实，
此结论不仅适用于该Sinc信号，而且还适用于任何信号。
在滞后$ n = 0 $处，我们有
$$ R_x [0] = \ sum_ {m = -\ infty} ^ \ infty（x [m]）^ 2 $$
，我们保证不仅峰和谷
彼此对齐（无论这些峰和谷出现在哪里） $ x [m] $）
也要适当地排列最高峰和最深谷
。

更正式地说，对于需要正式证明的@JohnSmith这样的学徒，柯西不等式表示，对于复数值序列$ u $和$ v $，
$$ \ left | \ sum_m u [m]（v [m ]）^ * \ right | ^ 2 \ leq \ sum_m | u [m] | ^ 2 \ sum_n | v [m] | ^ 2。$$
仅出于易于说明的目的，将自己限制为实值序列，更详细的版本说
$$-\ sqrt {\ sum_m \ left（u [m] \ right）^ 2 \ sum_m \ left（v [m] \ right）^ 2} \ leq \ sum_m u [m] v [m] \ leq
\ sqrt {\ sum_m \ left（u [m] \ right）^ 2 \ sum_m \ left（v [m] \ right）^ 2} $$
如果存在正（负）数$ \ lambda $，则等式在上限（下限）中成立，使得$ u = \ lambda v $，即$ u [m] = \ lambda v [m ]〜\ forall m $，其中$ \ lambda> 0 $（$ \ lambda <0 $））。认识到平方根内的和是序列的能量$ \ mathcal E_u $和$ \ mathcal E_v $，我们可以这样写：
$$-\ sqrt {\ mathcal E_u \ mathcal E_v} \ leq \ sum_m u [m] v [m] \ leq \ sqrt {\ mathcal E_u \ mathcal E_v} $$
设置$ u [m] = x [m] $和$ v [m] = x [mn] $其中$ n $是一些整数，我们有
$$-sqrt {\ sum_m \ left（x [m] \ right）^ 2 \ sum_m \ left（x [mn] \ right）^ 2 } \ leq R_x [n] \ leq
\ sqrt {\ sum_m \ left（x [m] \ right）^ 2 \ sum_m \ left（x [mn] \ right）^ 2} $$并认识到现在$ \ mathcal E_u = \ mathcal E_x = \ mathcal E_x $，我们有
$$-\ mathcal E_x \ leq R_x [n] \ leq \ mathcal E_x $$如果等式之一处于边界， $ x [m] = \ lambda x [mn] $表示所有$ m $。最后，请注意
$ \数学E_x = \ sum_m（x [m]）^ 2 = R_x [0] $$，并且当$ n = 0 $时，序列$ u [m] = x [ m] $与序列$ v [m] = x [mn] = x [m-0] = x [m] $相同（即$ \ lambda = 1 $是正实数，因此$ u [m] = \ lambda v [m] $ for all $ m $），我们有
$$-R_x [0] \ leq R_x [n] \ leq R_x [0] $$显示了$ R_x [n] $的峰值为$ n = 0 $，所有其他自相关值均小于该峰值。


当$ x [m] $是周期有限功率信号时，给定的和
以上为$ R_x [n] $ diverge。在这种情况下，可以使用周期性的
自相关函数
$$ R_x [n] = \ sum_ {m = 0} ^ {N-1} x [m]（x [mn]）$$
其中$ N $是$ x [m] $的周期，即对于所有整数$ m $，$ x [m] = x [mN] $。请注意，$ R_x [n] $是
$ n $的周期函数。现在，虽然确实是$ 1 用于所有整数$ k $。还要注意，对于某些$ n \ in \ {1，2，\ ldots，N-1 \} $，通常$ n = $ R_x [n] = -R_x [0] $
如果$ N $是偶数，则为N / 2 $，因此在周期自相关函数中，我们可以拥有与最高峰一样深的谷
。这种序列的最简单示例是$ N = 2 $且序列的一个周期为$ [1〜-1] $时，其周期自相关就是周期序列$ [2〜-2] $，即交替自相关$ R_x [n] $的峰值和谷值，当$ n $是偶数整数时（不要忘了$ 0 $是偶数整数！）并且具有“反峰值”值$ -2 $为$ n $的奇数。更一般而言，只要$ N $是偶数并且一个周期$ \ vec {x} $可以分解为$ [\ vec {x ^ \ prime}，-\ vec {x ^ \ prime}] $，就会出现这种现象。

#3 楼

使用

$$ \ left（x [n]-x [n + m] \ right）^ 2 = x ^ 2 [n] + x ^ 2 [n + m]-2x [n ] x [n + m] $$

一个可以轻松表明

$$ \ begin {align}
R_x [m]＆= \ sum_ { n =-\ infty} ^ {\ infty} x [n] x [n + m] \\
＆= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 [n]- \ frac {1} {2} \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ left（x [n]-x [n + m] \ right）^ 2 \\
＆= \ R_x [0] \ quad \ quad-\ frac {1} {2} \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ left（x [n]-x [n + m] \ right）^ 2 \\
\ end {align} $$

第一项只是$ R_x [0] $，第二项是从第一个项中减去的非负数。这意味着对于任何$ m $，$ R_x [m] $都不能超过$ R_x [0] $。