为什么数字滤波器起作用？

#1 楼

考虑以下形式的离散时间输入信号：
$$ x [n] = \ cos（\ omega_0 n）~~~，~~~-\ infty ，其中每个样本的弧度频率$ \ omega_0 $设置为0到$ \ pi $弧度之间。
现在，考虑两种最简单的离散时间类型（ LTI FIR滤波器，这些滤波器是通过对输入样本进行加减运算然后根据以下条件产生输出$ y_1 [n] $和$ y_2 [n] $的基本算术运算来定义的：
$$ y_1 [ n] =（x [n] + x [n-1]）/ 2 ~~~，~~~ \ text {sum filter} $$和
$$ y_2 [n] =（x [n] -x [n-1]）/ 2 ~~~，~~~ \ text {差分滤波器} $$
通过将这些滤波器的输入信号频率$ \ omega_0 $设置为低（接近$ 0 $）和高值（接近$ \ pi $），然后分别观察相应的输出$ y_1 [n] $和$ y_2 [n] $；
首先，假设$ \ omega_0 $设置为低频。然后，连续的输入采样$ x [n] $和$ x [n-1] $将具有非常相似的值，因为低频正弦波从一个采样到另一个采样不会有太大变化。在这种情况下，它们的总和将加起来，而其差额将抵消。因此，$ y_1 [n] $将近似等于输入值$ x [n] $，而输出$ y_2 [n] $由于抵消而将接近于零。定性分析的第一部分得出的结论是，第一个滤波器$ y_1 [n] $使低频信号通过，而第二个滤波器$ y_2 [n] $衰减它们。
假设分析的第二部分将$ \ omega_0 $设置为高频；则输入样本$ x [n] $和$ x [n-1] $的值将具有相反的极性，因为余弦将在样本之间快速变化。在这种情况下，它们的总和将被抵消，而它们的差将相加。因此，$ y_1 [n] $将近似为零，而输出$ y_2 [n] $将类似于其输入$ x [n] $。分析的第二部分得出结论，第一个滤波器$ y_1 [n] $停止了高频信号，而第二个滤波器$ y_2 [n] $通过了信号。
结合这两个定性分析，我们得出的结论是第一个滤波器$ y_1 [n] = 0.5（x [n] + x [n-1]）$是低通滤波器，它通过低频并衰减高频，而第二个滤波器$ y_2 [n] = 0.5（ x [n] -x [n-1]）$是高通滤波器，它衰减低频并通过高频。
在这种设置下，通过使用更多采样来实现更复杂的滤波器，而这些采样的延迟更远相应地加权。通带和阻带截止频率，过渡带宽和纹波均由加和（或差分）样本中的权重以及和（或差分）中使用的样本数（滤波器长度）决定。
然后将这些权重称为表征滤波器的滤波器系数（或FIR滤波器的脉冲响应$ h [n] $）。

#2 楼

您可能已经使用了很多过滤功能。移动平均值是一个过滤器！

将普通过滤视为执行奇特的移动平均值，而不是平均地对窗口中的每个组件进行平均，而是对这些组件加权。

如果您只想平滑信号，就可以通过例如高斯（钟形）曲线对平均值中使用的每个值进行加权。这是一个低通滤波器。

如果您想隔离特定的频率，则可以对每个值进行加权，也可以在相同的频率上对它们进行加权。

#3 楼

我认为您正在寻找关于为什么在计算输入样本的加权总和时会得到某种频域行为的直觉。如您所知，因果长度$ N $ FIR滤波器的输出信号由

$$ y [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h [k ] x [nk] \ tag {1} $$

其中$ h [n] $是滤波器系数（抽头），或者等效地，是滤波器的有限长度脉冲响应，以及$ x [ n] $是输入信号。现在让$ x [n] = e ^ {j \ omega_0n} $，即频率为\\ omega_0 $的复指数。相应的输出信号为

$$ y [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h [k] e ^ {j \ omega_0（nk）} = e ^ {j \ omega_0n} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h [k] e ^ {-j \ omega_0k} = e ^ {j \ omega_0n} H（\ omega_0）\ tag {2} $$

其中

$$ H（\ omega）= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h [k] e ^ {-j \ omega k } \ tag {3} $$

是滤波器的频率响应，评估为$ \ omega = \ omega_0 $。它等于脉冲响应$ h [n] $的离散时间傅立叶变换。

等式。 $（2）$显示了频率为\\ omega_0 $的输入频率分量如何出现在输出中。其幅度按$ | H（\ omega_0）| $缩放，其相位偏移$ \ arg \ {H（\ omega_0）\} $。例如，您可以选择系数$ h [n] $，使得对于特定频率$ \ omega_0 $，$ H（\ omega_0）= 0 $。在这种情况下，滤波器会完全抑制输入信号中的相应频率分量。陷波滤波器就是这样。

等式。 $（2）$解释了离散时间滤波器的频域行为。通过以适当的方式选择系数$ h [n] $，可以将任何所需的频率响应$ D（\ omega）$近似为$ H（\ omega）$。这是近似理论的主题，或更具体地说，是数字滤波器的（频域）设计。请查看此答案，以简要概述数字滤波器设计并提供一些参考。

#4 楼

在到目前为止已添加的有用答案中，我想在直觉上补充一下，滤波是有效的，因为它是基于Wave理论，特别是基于wave的交互作用的。这提供了大量直观的示例。

但是，基本上有两种观点。一种是抽象的观点，是通过对现实进行建模然后对模型进行处理而获得的，另一观点是“物理”现实。也就是说，实际上是自然界中发生的事情。

例如，实际上，来自声源的声音从墙壁上弹起，并回到听众的耳中。这是现实。 “建模”现实就是说墙只是一个细节。发生的情况是，在墙壁附近的另一个明确定义的位置，正在播放该源的声音。然后，这个简单的模型可以将反射作为波浪的叠加进行研究...但是在墙的另一侧却什么也没有。 phi）$是一个振荡器。如果它是从函数发生器出来的，在工作台顶部，我们可以说$ y $对应于输出的插孔，$ a $是幅度转盘，$ \ omega $是频率转盘，$ \ phi $是相位拨盘。因此，我们的每个抽象符号都具有物理意义。我们可以使用频率拨盘进行操作，并且可以立即使用它，这已成为我们体验的一部分。

我们可以使用Matt的$ h $吗？我在上面的答复中正在谈论L吗？ $ h $的物理对应关系是什么？现实中到底发生了什么？什么是$ h $？

$ h $有很多奇妙的东西。房间是$ h $。在桥下的长隧道通道是$ h $。气氛是$ h $。钢琴是$ h $（通常是乐器的谐振器）。海洋是$ h $。一条线是$ h $。吉他放大器是$ h $。

想象一下自己在所谓的自由空间中。自由空间是如此之大，以至于您的声音变得平坦，根本不会产生共鸣。这是一种非常奇怪的感觉。要了解“扁平化”的真正含义，您必须在一家出售面料的商店中找到自己（或者一个无回音室...面料商店更容易）。所有商品吸收的声音是如此之大，以至于您会感到完全孤立，没有任何方向感。

但是无论如何，我们处于自由空间中，并且函数生成器位于我们前面某个扬声器上。打开它。您会听到清晰的汽笛声。扬声器使空气振动，并最终波到达我们的耳朵。

我们现在带进一块花岗岩平板。它是一块大的花岗岩轮，可以将其放置在我们喜欢的任何位置，将其放置在身后的位置，并观察到，当我们在扬声器和花岗岩片之间的特定位置移动时，声音的振幅会减小，直到达到完全消失。为什么会这样呢？因为扬声器在我们面前产生的波的峰值与（完美地）与我们后面的幻影扬声器所产生的波的波谷相结合（或者实际上来自扬声器的相同波会反弹）顺便说一下，由于这种弹跳的物理原理，无论反射到哪里，反射信号的相位都会发生翻转。因此，在前扬声器产生压力的地方，后扬声器（反射物）产生一些“吸力”，并且空气实际上没有移动。

这与$ h $有什么关系？

让我们从一个“空” $ h $开始。不，不是全零，看起来像$ h = [1,0,0,0,0,0,0,0] $。碰到耳朵的信号是$ z = y * h $。这里的$ * $表示来自Matt的卷积。上面L的回答。对于此$ h $，$ z $与$ y $相同。这是我们的自由空间。现在，我们引入花岗岩板材的详细信息。 $ h $怎么变化？

可能是这样的$ h = [1,0,0,0,0,1,0,0,0,0，$] $。它表示比立即向前的波到达我们的耳朵晚一些时间的1反弹。如果两个$ 1 $ s之间的距离对应于发电机频率的一半波长，则$ z $将为零。其他波长将按比例抵消。

......我们可以仔细地将回声放置在$ h $ ...中，从而雕刻出$ z $ ...的谐波频谱...

现在，忘掉重力吧。我们漂浮在自由空间（而不是外部空间）中，并带入花岗岩片，胶合板片，覆盖有织物的胶合板片，非常厚的织物片，石膏，玻璃等，我们可以按照自己喜欢的任何方式放置它们。由于材料不同，我们有效雕刻的“回波轮廓”将具有不同的振幅。因此，您的$ h $最终将类似于$ h = [1.0,0,0,0,0，-0.6,0,0.1，-0.05,0,0,0,0,0,0] $。

这真的发生在现实中吗？是!每次您在美丽的音乐厅中听到声音时，都会有人坐在那儿数小时，试图雕刻房间的$ h $，以使房间的反射不会让人感到头疼，或者您实际上可以听到说话者的讲话。您可以看到周围的雕刻工具，有低音陷阱，有扩散器，天花板上只是悬挂着镶板，有窗帘，每一个都对应一个或多个$ h $系数。实际上，由于建筑师指定了空间的形状，所以开始雕刻$ h $。

我们可以“获取”房间的$ h $吗？当然，进入你的客厅，充气气球，离开它的地方靠近你的电视，把麦克风的地方靠近沙发上捏气球，使其爆裂。怎么了？强烈的大气干扰（单位脉冲）在太空中传播，它不仅击中麦克风，而且还弹跳到墙壁和物体上，随后又击中麦克风。有了它，当它与电视上的“平坦”信号卷积在一起时，就可以模拟您在客厅中实际听到的声音。现在，您可以在浴室（用瓷砖覆盖，有不同的签名）上或在苏格兰的一个长沙坑中重复相同的实验。在长长的鹅卵石地下通道中，聆听体验不同，在布料店中，聆听体验也不同。

这是一场雷雨。您会看到螺栓（这是您的第一个$ 1 $），然后听到隆隆声（随后产生的电弧回声）。这就是$ h $，它包含有关我们周围的景观和大气的信息，因为由雷弧引起的大气干扰在空间中传播并反弹。看到它，它需要的不仅仅是气球爆炸。您击中钢琴的音符后，波浪会沿着琴弦行进，其末端弹起并返回，它也穿过钢琴的木质主体并返回。不同的琴弦和琴身材料，不同的$ h $，不同的钢琴。那就是船下面的海洋的$ h $，它传达有关声音传播方式的信息。

所有这些现象有什么共同点？波浪！实际上，在声音及其相互作用方式中，机械波。实际上，这只是一个足够好的近似值。有许多有趣的非线性现象（或这一现象）发生在海洋和空中，当然也发生在电子电路（通常为现实）中，这些现象在这种相互作用的正弦波的简单模型中以及在

最后，请注意，在“建模”现实中，（从数学的角度来看）卷积积分是一种求解微分方程（系统模型）的方式，并且还有其他应用程序（请参阅此列表的最后三个）。

#5 楼

查找FIR滤波器的一种直观方法是作为一种运行匹配函数。采样加权总和输出多少看起来与权重中固有的一些“匹配”值相似。

带通滤波器看起来像某些波形的块，其频率为您希望过滤器通过。来自大约相同频率的输入信号段的良好匹配输出高正值。将该输入偏移90度，则匹配是正交的，或者近似正交，因此该滤波器输出一个较低的值。再移90度，信号波形现在看起来大致与FIR波形相反，因此滤波器输出一个负值。因此，从正到负的这种交替产生一个输出波形，该输出波形在某些相位上是良好匹配而在其他相位上是相反匹配时，在某种程度上类似于输入波形。其他输入波形（例如DC或更高的频率）几乎无法匹配，因此将产生较低的输出值。

移动平均或低通FIR滤波器具有很大的权重相同或几乎相同，因此当输入在DC周围没有正负值振荡时，将以更高的电平输出，在经过几乎相同的加权后相加时，这将至少部分抵消。

而FIR滤波器内核会交替改变每个权重，或者近似地改变权重，在给定DC输入的情况下，它会被抵消，但会更好地匹配最高频率的输入，从而在看起来不像DC的情况下输出更多给定的输入，例如高通滤波器。

由于FIR滤波是作为LTI过程进行的，因此LTI中的“线性”意味着您可以将多个“匹配类型”相加在一起，以创建频率响应的线性组合，这是一种排序-为什么频率响应的逆FT会产生脉冲响应，该脉冲响应可用于具有大致所需频率响应的FIR滤波。

一些函数（例如正弦和余弦）可以通过简短的递归来近似。 IIR滤波器可以看作是短递归函数生成器的组合，该函数可以生成一些所需的类似于FIR滤波器的“匹配”波形，并同时进行上述匹配过程。