是否有一种方法可以通过仅知道离散系统对阶跃函数的响应来获得离散系统的冲激响应？

#1 楼

下面是一个简单的Phonon答案版本。

假设$ y $表示系统对单位阶跃函数的响应。
然后，如该答案所述，
通常，$ y $是脉冲响应的缩放副本和延时副本的总和，在这种情况下，不需要缩放；只有时间
延迟。因此，
$$ \ begin {align}
y [2]＆= h [2] + h [1] + h [0] \\
\ vdots〜＆=〜\ vdots
\ end {align} $$
其中右边的每一列都是（未缩放和）时间延迟
脉冲响应。
因此，我们很容易得到
$$ \ begin {align}
h [0]＆= y [0] \\
h [1 ]＆= y [1] -y [0] \\
h [2]＆= y [2] -y [1] \\
\ vdots〜＆=〜\ vdots \\
h [n]＆〜= y [n]-y [n-1] \\
\ vdots〜＆=〜\ vdots
\ end {align} $$
几乎没有提到滤波器，逆，卷积，积分，运算符等，这只是线性时不变系统定义的简单结果。

#2 楼

是的，在离散系统中也是如此。在这种情况下，微分运算被一阶差分代替。它不认为它具有通用符号，但我们称其为$ D（\ cdot）$。此操作等效于用$ y [n] = x [n]-x [n-1] $过滤信号。我们将此过滤器称为$ d [n] $。我将表示$ * $符号的卷积。

现在让我们将关于卷积的知识应用于此运算符。我们知道，我们获得的$ u [n] $具有$ \ delta [n] $上的总和（离散积分器）。实际上，由$ u [n] $表示的系统本身就是这种离散积分器。另请注意，这两个运算符互为逆，并且特别是$ u [n] * d [n] = \ delta [n] $。

现在，我们知道卷积是可交换的，这是
$$ a [n] * b [n] = b [n] * a [n] $$

并且是关联的，即
$$ \ left （a [n] * b [n] \ right）* c [n] = a [n] * \ left（b [n] * c [n] \ right）$$

所以，
$$ x [n] = \ delta [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [ n] = d [n] * \ left（u [n] * x [n] \ right）$$

因此，您可以看到可以从$中恢复$ x [n] $ \ left（u [n] * x [n] \ right）$通过应用一阶差分，就像连续情况一样。

#3 楼

假设：



连续时域：设$ h（t）$-脉冲响应，$ s（t）$-阶跃响应

离散时域：假设$ h [n] $-单位脉冲响应，$ s [n] $-单位阶跃响应

直觉上讲，连续时域中的积分等于离散中的求和时域。同样，连续时域中的导数等效于离散域中的有限差分。

通过这种直观的理解，考虑$ u $和$ \ delta $之间的关系（帖子中第二个等式的左侧）：


连续时域：$ u（t）= \ int \ delta（t）$
离散时域：$ u [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ delta [nk] $

同样，考虑$ s $和$ h $之间的关系（帖子中第二个等式的右侧）：


连续时域：$ s （t）= \ int h（t）$
离散时域：$ s [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} h [nk] $

现在，如果您仔细看一下最后一个等式：

$$ s [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} h [nk] $$

现在$ h [n] $可以通过方程式使用$ s [n] $的有限差分加上自身的延迟形式来找到，即$ s [n-1] $：

$$ h [n] = s [n]-s [n-1] $$