计算旋转：复数与旋转矩阵

#1 楼

分解时，这两种方法最终都会进行相同的计算。

使用矩阵旋转向量$ u $：
$$ \ begin {bmatrix} \ cos \ theta＆-\ sin \ theta \\ \ sin \ theta和\ cos \ theta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u_x \\ u_y \ end {bmatrix} =
\ begin {bmatrix} u_x \ cos \ theta-u_y \ sin \ theta \\ u_x \ sin \ theta + u_y \ cos \ theta \ end {bmatrix} $$

使用复数旋转向量$ u $：
$$ \ begin {aligned}
（\ cos \ theta + i \ sin \ theta）（u_x + iu_y）＆= u_x \ cos \ theta + iu_y \ cos \ theta + iu_x \ sin \ theta-u_y \ sin \ theta \ \
＆=（u_x \ cos \ theta-u_y \ sin \ theta）+ i（u_x \ sin \ theta + u_y \ cos \ theta）
\ end {aligned} $$

我不希望任何一个都比另一个快或慢，因为它们最终都会执行相同的一组基本运算，即4个乘加2个。

，当数组中存储大量旋转时，复数可能会更快，因为复数只有两个分量而不是四个分量


































br />不。矩阵比复数更通用。任何复数$ z $都可以由矩阵表示为：
$$ \ begin {bmatrix} \ text {Re}（z）＆-\ text {Im}（z）\\ \ text {Im} （z）和\ text {Re}（z）\ end {bmatrix} $$
这对应于$ z $阶段的旋转和$ z $大小的缩放。复数只能表示旋转和均匀缩放。矩阵既可以表示那些，也可以表示不均匀的缩放和剪切。另一种看待它的方法是复数只有两个自由度，而2×2矩阵只有四个自由度。

#2 楼

在2D情况下，它简化为相同的计算。无论如何，对于3D，我们都有四元数，它们是具有一个实数和三个虚数分量的多维虚数。四元数具有通过对2个加权四元数求和而使旋转组成线性插值运算的属性。巧妙地解决了空间旋转的某些问题。但是以易懂为代价。

#3 楼

在旋转矩阵中，您实际上使用的是三角函数（即具有独立变量称为角度的正弦和余弦），该函数由泰勒级数在内部实现（即具有一定成本）。对于复数，您可以通过将向量（即after表示为复数）乘以表示旋转的复数来避免这种情况。例如，如果您需要旋转矢量（1,0）并使其指向上方（即不需要角度），则基本上将其乘以复数$ z = i $，则旋转后的矢量为（0 ，1）。如您所见，没有使用三角函数。请参阅下面的Matlab代码执行一些旋转操作

clear all
clc

v =  1 + 0i; % vector

z1 =  1 + 1i; % 45  rotation
z2 =  0 + 1i; % 90  rotation
z3 = -1 + 1i; % 135 rotation
z4 = -1 + 0i; % 180 rotation
z5 = -1 - 1i; % 225 rotation
z6 =  1 - 1i; % 270 rotation

%rotate v1 by z deg
v1 = v*z6

但是请记住，对于2D来说，旋转矩阵做得很好，而对于3D来说，复数的重要性通过四元数很重要。