预编码矩阵以保留DFT向量上的复杂共轭对称性的条件

假设有一个长度为N的DFT向量$ \ mathbf {X} $，在其中点附近呈现出复杂的共轭对称性，即$ X（1）= X（N-1）^ * $，$ X（2） = X（N-2）^ * $，依此类推。 $ X（0）$和$ X（N / 2）$分别是DC和Nyquist频率，因此是实数。剩下的元素很复杂。

现在，假设有一个矩阵$ \ mathbf {T} $，大小为$ N \ times N $，它将向量X相乘。

\ begin {align}
\ mathbf {Y} = \ mathbf {T} \ mathbf {X}
\ end {align}

问题是：

在什么条件下，对于矩阵$ \ mathbf {T} $，保留所得矢量$ \ mathbf {Y} $中点周围的复共轭对称性？

这个问题的动机是试图提出一个预编码器矩阵$ \ mathbf {T} $，该矩阵会产生一个预编码（预均衡）的符号$ \ mathbf {Y} $，其IFFT是真实的。

编辑：

@MattL。和@niaren。
这个问题的难点在于找到必要的条件。马特的答案确实足够。进行以下修改也就足够了：

第一行和第一列不必为零。取而代之的是，它们可以是非零的，只要其值在中点周围呈现复共轭对称性，则其第一个值是实数，第（$ N / 2 + 1）$个值是实数，就像符号一样。对于第（N / 2 + 1）$列，第（N / 2 + 1）$行和主对角线也可以这样说。

其次，可以在右上角和左下角之间建立矩阵在左上角和右下角的相同对应关系，即选择$（N / 2 -1）\ times（N / 2-1）从$ t_ {2，N / 2 + 2} $到$ t_ {N / 2，N} $的$矩阵，从左向右翻转，上下翻转并采用共轭，然后放在左下角。在MATLAB上，应为：

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

此结构类似于DFT矩阵的结构。这是一个必要条件吗？

EDIT（2）：

以下代码为任何实值$ N \ times N $矩阵$ \实现了这样一个有效的运算符mathbf {A} $：

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

注意$ \ mathbf {T} ^也很有趣{-1} $也提供了充分的条件。这来自于以下事实：

\ begin {align}
\ mathbf {T} ^ {-1}＆= \ mathbf {\ left（WAW ^ {H} \ right） } ^ {-1} \\
＆= \ mathbf {\ left（W ^ {H} \ right）} ^ {-1} \ mathbf {A} ^ {-1} \ mathbf {W} ^ {-1}
\ end {align}
其中$ \ mathbf {W} $是DFT矩阵。

因为$ \ mathbf {W ^ {H}} = N \ mathbf {W} ^ {-1} $。该等式变为：

\ begin {align}
\ mathbf {T} ^ {-1}＆= \ left（N \ mathbf {W} ^ {-1} \ right） ^ {-1} \ mathbf {A} ^ {-1} \ frac {1} {N} \ mathbf {W ^ {H}} \\
＆= \ mathbf {W} \ mathbf {A} ^ {-1} \ mathbf {W ^ {H}}
\ end {align}

最后，因为$ \ mathbf {A} ^ {-1} $是实值，前提是$ \ mathbf {A} $是完整排名，$ \ mathbf {T} ^ {-1} $就足够了。