为了完全理解这个问题，我们首先详细介绍一下IQ解调
IQ解调系统
IQ混频器接收高频信号并将其带到较低频率，以便于处理。
图1显示IQ混频器的示意图。
本地振荡器（LO）信号$ \ cos（\ Omega t $）用于将RF信号混频至较低的频率。
图1：完整的信号处理链。微波频率信号（和噪声）通过RF端口进入IQ混频器。该信号与本地振荡器（LO）混合以转换成中频信号$ I $和$ Q $。然后对中频信号进行滤波，以去除剩余的高频分量（参见文本）并进行数字采样。每个频率分量的幅度和相位的检测都是通过数字逻辑中的离散傅立叶变换完成的。相干信号-直流情况
假定输入的RF信号为$ M \ cos（\ Omega t + \ phi）$。
然后$ I $和$ Q $信号将
\ begin {align}
I（t）＆= \ frac { M} {2} \ cos（\ phi）+ \ frac {M} {2} \ cos（2 \ Omega t + \ phi）\\
Q（t）＆=-\ frac {M} { 2} \ sin（\ phi）-\ frac {M} {2} \ sin（2 \ Omega t + \ phi）\，..
\ end {align}
我们将这些信号通过低通过过滤器以删除$ 2 \ Omega $条款，产生
\ begin {align}
I_F（t）＆= \ frac {M} {2} \ cos（\ phi）\\
Q_F（t）＆=-\ frac {M} {2} \ sin（\ phi）\，..
\ end {align}
如我们所见，dc $ I $和$ Q $电压可以认为是笛卡尔坐标，给出原始信号的幅度和相位。
因此，混频器已完成其工作，允许我们仅通过进行低频测量来找到高频信号的幅度和相位。
相干信号-交流情况
实际上，我们通常不将RF信号解调为dc。
有以下几个原因：
噪声频谱密度几乎总是在低频下急剧增加。 >如果要同时测量不同频率下几个正弦波分量的幅度和相位，我们将无法在系统的模拟部分直接将其解调为dc。
作为与＃2相关的示例，我们可能具有
\开始{等式}
RF（t）= M_1 \ cos（[\ Omega + \ omega_1] t + \ phi_1）+ M_2 \ cos（[\ Omega + \ omega_2] t + \ phi_2）\，。
\ end {equation}
为了找到两个频率分量的幅度和相位，我们必须使用稍微复杂一些的信号处理。
$ I_F $和$ Q_F在这种情况下，$波形是
\ begin {align}
I_F（ t）＆= \ frac {M_1} {2} \ cos（\ omega_1 t + \ phi_1）+ \ frac {M_2} {2} \ cos（\ omega_2 t + \ phi_2）\\
Q_F（t ）＆=-\ frac {M_1} {2} \ sin（\ omega_1 t + \ phi_1）-\ frac {M_2} {2} \ sin（\ omega_2 t + \ phi_2）\，。
\ end {align}
为了同时找到振幅和相位，我们需要进行一次傅立叶变换。
为此，我们将波形数字化，产生
\ begin {align}
I_n＆= \ frac {M_1} {2} \ cos（\ omega_1 n \ delta t + \ phi_1）+ \ frac {M_2} {2} \ cos（\ omega_2 n \ delta t + \ phi_2） \\
Q_n＆=-\ frac {M_1} {2} \ sin（\ omega_1 n \ delta t + \ phi_1）-\ frac {M_2} {2} \ sin（\ omega_2 n \ delta t + \ phi_2）
\ end {align}
其中$ \ delta t $是数字采样间隔。
然后，在数字逻辑中，我们构造由$ z_n \定义的复数系列$ z_n $ equiv I_n + i Q_n $。
对于上面写的信号，这是
\ begin {equation}
z_n =
\ frac {M_1} {2} \ exp \ left（我\ left [\ omega_1 n \ delta t + \ phi_1 \ right] \ right）
+ \ frac {M_2} {2} \ exp \ left（i \ left [\ omega_2 n \ delta t + \ phi_2 \ right] \ right）\，..
\ end {equation}
如果现在，我们在数字逻辑中计算总和
\ begin {equation}
Z（\ omega_k）= \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} z_n e ^ {-i \ omega_k n \ delta t}
\ end {equation}
，我们以$$ omega_k $的频率恢复分量的幅度和相位。
例如，如果我们将计算$ Z（\ omega_1）$，我们将得到$（M_1 / 2）\ exp（i \ phi_1）$。
噪声
实际上，信号总是带有噪声。
噪声的作用是使$ Z（\ omega）$成为随机变量，而不是确定性值。
换句话说，对于每个$ \ omega $ $ Z（ \ omega）$是随机的，并且每次实验的实现都会有所不同。
我们可以凭直觉猜测在噪声存在的情况下，$ Z（\ omega）$在圆弧中具有圆对称分布IQ平面的平均值等于确定性值$（M / 2）\ exp（i \ phi）$。
问题是st到底是什么噪声的情况下$ Z $的原态分布？
#1 楼
因为处理链中的每一步都是线性的，所以我们考虑一个只有噪声而没有相干信号的情况。表示噪声$ \ xi（t）$。
$ I $和$ Q $信号是
\开始{align} \
I（t）＆= \ xi（t）\ cos（\ Omega t）\\
Q（t）＆=-\ xi（t） \ sin（\ Omega t）\，。
\ end {align}
我们用时间响应函数$ h $，
\ begin {equation }
I_F（t）= \ int _ {-infty} ^ \ infty dt'\，\ xi（t'）\ cos（\ Omega t'）h（t-t'）
\ end {equation}
，类似地对于$ Q_F $。
请注意，由于过滤器是因果关系，因此$ h（t）= 0 $对于$ t <0 $。
简单地采样在时间$ \ {n \ delta t \} $，
\ begin {equation}
I_n = \ int _ {-infty} ^ \ infty时选择$ I_F $和$ Q_F $的值dt'\，\ xi（t'）\ cos（\ Omega t'）h（n \ delta t-t'）
\ end {equation}
，类似地对于$ Q_n $。
按照上述针对处理链的数字部分的构造，我们有
\ begin {equation}
Z（\ omega）=
\ f rac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dt'\，\ xi（t'）e ^ {-i \ Omega t'} h（n \ delta t-t'）e ^ {-i \ omega n \ delta t} \，。
\ end {equation}
因此，我们的问题是计算该表达式的统计量。
更改变量$ n \ delta t-t'\ rightarrow t'$产生
\ begin {equation}
Z（\ omega）= \ frac {1} {N } \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ int _ {-infty} ^ \ infty dt'\，\ xi（n \ delta t-t'）e ^ {-i \ Omega（n \ delta t-t'）} h（t'）e ^ {-i \ omega n \ delta t} \，..
\ end {equation}
在这一阶段，我们可以通过计算进行完整性检查$ Z（\ omega）$的平均值。
请记住，这是一个整体平均值。
换句话说，我们正在计算$ Z（\ omega）$的平均值通过将许多已解调噪声实例转换为IQ点，然后取所有这些点的平均值。
无论如何，结果是
\ begin {align}
\ langle Z（\ omega ）\ rangle
＆= \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dt'\，\ underbrace {\ langle \ xi（n \ delta t- t'）\ rangle} _0 e ^ {-i \ Omega（n \ delta t-t'）} h（t'）e ^ {-i \ omega n \ delta t} \\
＆= 0 \，。
\ end {align}
，这是有道理的，因为我们期望噪声不会改变解调的IQ点的平均值，而应仅添加一些围绕确定性值的随机性。 />
我不知道如何直接计算$ Z（\ omega）$的统计信息，因此我们采用另一种方法来计算$ Z（\ omega）$的均方值。
通过中心极限定理，$ Z $的实部和虚部至少应近似为瓜斯分布（并且如我们将指出的那样是不相关的），因此找到$ Z $的均方模实际上告诉我们我们需要做的所有事情
我们直接构建$ | Z（\ omega）| ^ 2 $并获取统计平均值（统计平均值由$ \ langle \ cdot \ rangle $表示）。
\开始{align}
\ langle \ l eft | Z（\ omega）\右| ^ 2 \ rangle
＆= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dt'\，dt''\，\ frac {1} {N ^ 2} \ sum_ {n，m = 0} ^ {N-1} \ nonumber \\
＆e ^ {i \ Omega（t'-t''）} h（t'）h（t''）\角\ xi（n \ delta t-t'）\ xi（m \ delta t-t''）\ rangle e ^ {-i（\ Omega + \ omega）（n-m）\ delta t} \，。 \ qquad（*）
\ end {align}
我们现在使用Wiener-Khinchin定理，它说对于平稳随机过程$ \ xi（t）$统计平均值$ \ langle \ xi（ \ tau）\ xi（0）\ rangle $通过以下等式与功率谱密度$ S_ \ xi $相关：
\ begin {equation}
\ langle \ xi（\ tau）\ xi（0）\ rangle = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega} {2 \ pi} S_ \ xi（\ omega）e ^ {i \ omega \ tau} \，。
\ end {equation}
使用此公式为$ \ langle \ xi（n \ delta t-t'）\ xi（m \ delta t-t''）$产生
\ begin {align}
\ langle | Z（\ omega）| ^ 2 \ rangle
＆= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dt'\，dt''\，\ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} \ frac {1} {N ^ 2} \ sum_ {n，m = 0} ^ {N-1} \ nonumber \\
＆e ^ {i \ Omega（t'-t''）} h（t'）h（t''）S_ \ xi（\ omega'）e ^ {i \ omega'（（nm）\ delta t-（t'-t ''））} e ^ {-i（\ Omega + \ omega）（n-m）\ delta t} \\
＆= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} | h（\ omega'-\ Omega）| ^ 2 S_ \ xi（\ omega'）\ left | \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {-i（\ Omega + \ omega-\ omega'）n \ delta t} \ right | ^ 2 \\
＆= \ frac {1} {2N} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} | h（\ omega'-\ Omega）| ^ 2 S_ \ xi（\ omega'）\ underbrace {
\ frac {1} {N} \ left（\ frac {\ sin（[\ Omega + \ omega-\ omega'] \ delta t N / 2）} {\ sin（[\ Omega + \ omega-\ omega'] \ delta t / 2）} \ right）^ 2
} _ {N ^ {\ text {th}} \ text {订购Fejer内核} } \\
＆= \ frac {1} {2N} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} | h（\ omega'-\ Omega） | ^ 2 S_ \ xi（\ omega'）\ mathcal {F} _N（[\ Omega + \ omega-\ omega'] \ delta t / 2）\\
\ end {align}
其中$ \ mathcal {F} _N $是$ N ^ {\ text {th}} $阶Fejer内核。
更改变量$ \ Omega-\ omega'\ rightarrow \ omega'$我们得到
\ begin {equation}
\ langle | Z（\ omega）| ^ 2 \ rangle =
\ frac {1} {2N} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} | h（-\ omega'）| ^ 2 S_ \ xi（\ Omega-\ omega'）\ mathcal {F} _N（[\ omega'+ \ omega] \ delta t / 2）\，。
\ end {equation}
到目前为止，结果是精确的ults可以通过对积分的数值求值得出。权重集中在$ x = 0 $附近。
因此，我们仅对$ \ Omega $附近的频率积分超过$ S_ \ xi $，因此，在此积分中，我们可以将$ S_ \ xi $近似为常数$。 S（\ Omega-\ omega'）\ approx S_ \ xi（\ Omega）$，得到
\ begin {equation}
\ langle | Z（\ omega）| ^ 2 \ rangle =
\ frac {1} {2N} S_ \ xi（\ Omega）\ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} | h（-\ omega'）| ^ 2 \ mathcal {F} _N（[\ omega'+ \ omega] \ delta t / 2）\，..
\ end {equation}
在这里我们已经可以看到解调的IQ点的噪声统计仅取决于LO频率附近的RF频谱密度。
这很有意义； IQ混频器的设计目的是在LO频率附近获取信号内容，并将其降低到可以处理的较低IF。
抗混叠滤波器会去除所有与LO距离太远的频率分量。 br />
$ \ mathcal {F} _N（x）$的第一个空值出现在$ x = 2 \ pi / N $，并且大部分权重包含在前几个叶中。
因此，第一个空值位于
\ begin {equation}
\ frac {\ omega'_ {\ text {null}}} {2 \ pi}
=-\ frac {\ omega} {2 \ pi} \ pm \ frac {1} {N \ delta t} \，。
\ end {equation}
这意味着$ \ omega'$上的积分由采样频率除以$ N $所给定范围内的频率。
在大多数实际应用中，该范围是如此之小，以致$ h（\ omega）$在该范围内大致恒定。
情况下，我们可以将$ h（-\ omega'）$替换为$ h（\ omega）$（请注意，$ h（-\ omega）= h（\ omega）$）发现
\开始{align}
\ langle | Z（\ omega）| ^ 2 \ rangle
＆= \ frac {1} {2N} S_ \ xi（\ Omega）| h（\ ome ga）| ^ 2
\ underbrace {
\ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ frac {d \ omega'} {2 \ pi} \ mathcal {F} _N（[\ omega' + \ omega] \ delta t / 2 N）
} _ {1 / \ delta t} \\
＆= \ frac {S_ \ xi（\ Omega）} {2 T} | h（ \ omega）| ^ 2
\ end {align}
其中$ T \ equiv N \ delta t $是总测量时间。
信噪比
众所周知，如果随机变量$ Z $具有高斯并独立分布的实部和虚部，并且具有均方系数$ R $，则该变量的实部和虚部的分布为标准差$ \ sqrt {R / 2} $。$ ^ {[a]} $
因此，以$ \ langle | Z（\ omega）| ^ 2 \ rangle $的结果为例，我们观察到$ Z $的实部和虚部是高斯分布的，并且它们不相关，$ ^ { [b]} $我们知道实部和虚部的分布的标准偏差为
\ sigma = \ sqrt {S_ \ xi（\ Omega）| h（ \ omega）| ^ 2/4 T} \，..
\ end {equation}
如开始时所述，信号$ M \ cos（[\ Omega + \ omega] t + \ phi ）$在IQ平面中变成$（M / 2）e ^ {i \ phi} $。
当然，我们忽略了滤波器的效果，该效果只是将幅度缩放到
\ begin {equation}
Z（\ omega）= \ frac {M | h（\ omega）|} {2} e ^ {i \ phi} \，..
\ end {equation}
假设，如图2所示，我们使用IQ解调系统来区分两个或多个信号，每个信号具有不同的相位，但振幅都等于$ M $。
由于噪声，每个信号可能的幅度/相位会导致点云距原点的径向距离为$ M | h（\ omega）| / 2 $的e IQ平面。
两云中心之间的距离为$ g（M / 2）| h（\ omega）| $其中$ g $是一个几何因数，具体取决于云层的相位。
如果两云层之间的弧角为$ \ theta $并且每个云层的中心与原点等距，则$ g = 2 \ sin（\ theta / 2）$。
例如，如果两个阶段为$ \ pm \ pi / 2 $，则$ g = 2 \ sin（\ pi / 2）= 2 $。
从几何上讲，这是因为云的中心之间的距离是任一云到原点的距离的两倍。
信噪比（SNR）为
\开始{align}
\ text {SNR}
＆\ equiv \ frac {\ text {separation} ^ 2} {2 \ times（\ text {cloud std偏差}）^ 2} \\
＆= \ frac {（g M | h（\ omega）| / 2）^ 2} {2 S_ \ xi（\ Omega）| h（\ omega）| ^ 2 / 4T} \\
＆= \ frac {（ g M）^ 2 T} {2 S_ \ xi（\ Omega）} \\
＆= \ frac {g ^ 2 PT} {S_ \ xi（\ Omega）} \，。
\ end {align}
其中$ P \ equiv M ^ 2/2 $是输入模拟功率。
请注意，SNR不取决于$ h $。
要记住此结果，请注意，噪声功率是频谱密度乘以带宽$ B $。
取$ B = 1 / T $我们看到的结果只是说IQ平面上的SNR等于模拟SNR乘以几何因子$ g ^ 2 $。
2：两颗IQ云。云的中心之间的距离与它们的径向大小$ M $成正比，但由几何因子$ g $缩放。投影到连接其中心的线上，每个云都变成宽度为$ \ sqrt {S_ \ xi（\ Omega）| h（\ omega）| ^ 2 / 4T} $的高斯分布。
$ [a] $：查找卡方分布。
$ [b] $：通过写等式$的等效项，我们可以看到$ Z $的实部和虚部实际上是不相关的。 （*）$，但适用于$ \ langle \ Re Z \ Im Z \ rangle $。这样做，我们发现在$ \ langle | Z | ^ 2 \ rangle $的情况下变成Fejer内核的总和将变为零（至少近似为零），因为这大约是正弦和余弦，它们是正交的。