具有加性高斯白噪声的未知矩形脉冲的持续时间

问题。

有一个离散信号$ f [i] $（下面的示例）。 已知$ f [i] $具有矩形脉冲形式，具有加性高斯白噪声。

$ f [i] = s [i] + n [i] $，
$ s [i] = \ alpha（\ theta [i-i_ {1}]-\ theta [i-i_ {2}]）+ c $，
$ i_ {2}> i_ { 1} $，
$ i_ {1}> N $

其中
$ \ theta [i] $是Heaviside阶跃函数，
$ n [i ] $是加性高斯白噪声，
$ \ alpha $是矩形脉冲的高度，
$ i_ {1} $是第一个矩形脉冲样本的索引，
$ i_ {2} $是矩形脉冲最后一个采样的索引，
$ c $是恒定信号电平，
$ N $是可调参数。

所有参数可能具有较大的值范围。需要找到$（i_ {2}-i_ {1}）$（样本中矩形脉冲的持续时间）的值。

可能的解决方案。

目前，我尝试了两种方法来解决此问题。

具有阈值的低通滤波器。

作为首次尝试，我使用了简单的方案具有低通滤波器和阈值。
1。应用截止频率等于$ 0.05f_ {sampling} $。的FIR低通滤波器。
2。信号的前$ N $个采样的滤波噪声的估计均值$ m $和色散$ \ sigma ^ {2} $。
3。设置阈值$ t = m + 3 \ sigma $。
4。估计$ i_ {1} = \ min_ {i}（f [i]> t）$。
5。估计$ i_ {2} = \ max_ {i}（f [i]> t）$。



1。这个算法很简单。
2。快速实现很容易编写。

缺点：
1。很难估计滤波器截止频率的有效值。一方面，低值可能会破坏短脉冲的形式。另一方面，较大的值会降低过滤效果。
2。算法并没有使用所有信息，我们拥有有关信号的信息。

回归分析

作为第二次尝试，我尝试使用函数$ s'[i] $近似估计样本的输入序列。

$ s'[i] = \ alpha（\ theta'[i-i_ {1}]-\ theta'[i-i_ {2}]）+ c $，
$ \ theta'[i] = \ frac {1} {1 + e ^ {-\ frac {i} {\ beta}}} $，其中$ \ beta $是一个小参数。

为了近似起见，我使用了该方法具有梯度下降的最小二乘法，以最小化成本函数。
1。设置$ \ alpha $，$ c $，$ i_ {1} $，$ i_ {2} $的初始值。
2。进行梯度下降。
3。设置阈值$ t = c + 0.5 \ alpha $。
4。估计$ i_ {1} = \ min_ {i}（f [i]> t）$。
5。估计$ i_ {2} = \ max_ {i}（f [i]> t）$。



1。该算法具有较高的精度。
2。

缺点：
1。这非常慢。

问题。

毕竟，我对第一种算法的精度和第二种算法的速度都不满意。
您将如何解决此问题？
有没有我找不到的经典解决方案？
想法，链接和任何反馈将不胜感激。