有界带限函数的导数的界

#1 楼

您将对伯恩斯坦的不等式感兴趣，这是我在Lapidoth（数字通信基础）（第92页）中首次学到的。

定义好的信号$ f（t）$上面的值（特别是$ f（t）$是可积的，并且限制为$ B \，\ text {Hz} $和$ \ text {sup} \，| f（t）| = A $），然后是$ $ \ left | \ frac {\ text {d} f（t）} {\ text {d} t} \ right | \ leq 2AB \ pi。
$$

请注意，伯恩斯坦的原始结果确定了边界$ 4AB \ pi $；后来，这个界限被收紧到$ 2AB \ pi $。


我花了一些时间阅读齐格蒙德的《三角函数》；我只想说这是对那些知道三角学的人们的完美解决方案。对证明的全面理解超出了我的数学技能，但我认为我可以强调要点。首先，齐格蒙德称伯恩斯坦不等式的结果更为有限。给定三角多项式$$ T（x）= \ sum _ {-\ infty} ^ \ infty c_k e ^ {jkx} $$（含实数$ x $），则$$ \ max_x | T'（x）| \ leq n \ max_x | T（x）| $$具有严格的不等式，除非$ T $是单项式$ A \ cos（nx + \ alpha）$。

要概括这一点，我们需要一个初步的结果。考虑在$ \ text {E} ^ \ pi $和$ \ text {L} ^ 2 $中的函数$ F $。 （$ \ text {E} ^ \ sigma $最多是类型为$ \ sigma $的类型的整数函数的类-这是我的数学开始处于边缘的地方之一。我的理解是，这是一个数学上严谨的方式来说明$ f = \ text {IFT} \ lbrace F \ rbrace $具有带宽$ \ sigma $。） （z）= \ frac {\ sin（\ pi z）} {\ pi} F_1（z），$$其中$ z $是复数，$$ F_1（z）= F'（0）+ \ frac {F （0）} {\ pi} + \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty {^ \ prime}（-1）^ nF（n）\ left（\ frac {1} {zn} + \ frac { 1} {n} \ right）。$$（这是定理7.19。）

现在我们可以陈述主定理。如果：




$ F $在$ \ text {E} ^ \ sigma $中且带有$ \ sigma> 0 $


$ F $以实轴为界

$ M = \ sup | F（x）| $为实数$ x $


然后$$ | F'（x）| \ leq \ sigma M $$有可能相等，当任意$ a，b $时，$ F（z）= a e ^ {j \ sigma z} + b e {-j \ sigma x} $。我们假设$ \ sigma = \ pi $（否则我们将$ F（z \ pi / \ sigma）$代替$ F（z）$。）

为了证明这一点，我们写了$ F $的导数使用上面的插值公式：$$ F'（x）= F_1（x）\ cos（\ pi x）+ \ frac {\ sin（\ pi x）} {\ pi} \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty \ frac {（-1）^ nF（n）} {（xn）^ 2}。$$设置$ x = 1/2 $我们得到$$ F'（1/2） = \ frac {4} {\ pi} \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty \ frac {（-1）^ nF（n）} {（2n-1）^ 2} $$表示$$ | F'（1/2）| \ leq \ frac {4} {\ pi} \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty \ frac {1} {（2n-1）^ 2} = \ frac {4M \ pi ^ 2} {4 \ pi} = M \ pi。$$

现在我们需要一个小技巧：取一个任意的$ x_0 $并定义$ G（z）= F（x_0 + z-1 / 2）$ 。然后，$$ | F'（x_0）| = | G'（1/2）| \ leq M \ pi。$$

（待办事项：显示等式的证明。定义$ \ sum \ prime $。）

#2 楼

通常，您会得到类似这样的信息，但它可能并不严格：

$$ \ begin {align} | f'（t）|＆= \ left | \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} j \ omega F（j \ omega）e ^ {-j \ omega t} d \ omega \ right | \\＆\ le \ frac {1} { 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \ omega || F（j \ omega）| d \ omega \\＆= \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ omega_c} ^ {\ omega_c} | \ omega || F（j \ omega）| d \ omega \\ && \ le \ frac {| \ omega_c |} {2 \ pi} \ int _ {-\ omega_c} ^ {\ omega_c} | F（j \ omega）| d \ omega \\＆== frac {\ omega_c} {\ pi} \ int_ {0} ^ {\ omega_c} | F（j \ omega）| d \ omega \ tag {1} \ end {align} $$

$ | f（t）| $的上限当然隐含在$ | F（j \ omega）| $中。

对于正弦曲线$ A \ sin（\ omega_ct）$，$（1）$给出$ A \ omega_c $作为上限，如预期的那样。