解决一维信号的卷积问题

#1 楼

即使我意识到这是一个很晚的答复，但我还是会尝试回答这个问题，因为我发现它很有启发性，而且因为投票数表明该问题是整个社区都普遍感兴趣的。

正如问题中已经提到的，让我们定义两个信号$ x（t）$和$ w（t）$为
$$ x（t）= e ^ {-kt} u（t），\四边形k> 0 \\ w（t）= \ frac {\ sin（\ pi t / 10）} {\ pi t} $$

对卷积$（x * w ）（t）$是由具有脉冲响应$ w（t）$的理想低通滤波器对指数衰减的信号$ x（t）$进行滤波。在该问题中，还正确指出，时域中的卷积对应于频域中的乘法。 $ x（t）$的傅立叶积分可以很容易地计算出：

$$ X（j \ omega）= \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-kt} e ^ {-j \ omega t} dt = \ frac {1} {k + j \ omega} $$

应该熟悉$ w（t）$的傅立叶变换，因为它是理想的低通过滤。在这个问题上，关于Sinc函数的定义有些混乱。我建议仅记住一个截止频率为$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $的单位增益低通滤波器的脉冲响应，而无需使用Sinc函数的任何定义：
$$ h_ {LP }（t）= \ frac {\ sin \ omega_0 t} {\ pi t} \ tag {1} $$

将（1）与$ w（t）$的定义进行比较，我们看到$ w（t）$只是一个截止频率为$ \ omega_0 = \ pi / 10 $的单位增益低通滤波器：
$$ W（j \ omega）= u（\ omega + \ omega_0） -u（\ omega- \ omega_0）$$，在频域中使用了阶跃函数$ u（\ omega）$。

为了找到时间函数$ y（t ）=（x * w）（t）$可以计算$ Y（j \ omega）= X（j \ omega）W（j \ omega）$的傅立叶逆变换：

$ $ y（t）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（j \ omega）W（j \ omega）e ^ {j \ omega t} d \\ omega =
\ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ omega_0} ^ {\ omega_0} \ frac {1} {k + j \ omega} e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

不幸的是，没有使用基本函数对此积分的封闭形式的解决方案。可以使用指数积分$ \ text {Ei}（x）$或以正弦和余弦积分$ \ text {Si}（x）$和$ \ text {Ci}（x）$进行数值评估。 。因此，我认为该练习的目的并不是要实际计算卷积，但其目的可能是对发生的情况进行定性描述（通过理想的低通滤波器对指数信号进行滤波）。 >
尽管如此，我认为查看信号$ y（t）$会很有帮助，因此我对参数$ k = 0.05 $和$ \ omega_0 = \ pi / 10 $进行了数字评估。下图显示了结果：绿色曲线是输入信号$ x（t）$，蓝色曲线是经过滤波的信号$ y（t）$。注意$ t（0）的$ y（t）$（非因果）纹波是由理想（非因果）低通滤波器引起的。如果我们增加低通滤波器的截止频率，则输入信号的失真将变小。如下图所示，我将截止频率提高了10倍，即$ \ omega_0 = \ pi $（而不是$ \ pi / 10 $）：