但是，最近我发现了很多带限信号的示例，其中与三次样条插值相比，高阶插值多项式给出的逼近误差较小。通常，当采样率足够高时，插值多项式在整个插值间隔内会更准确。当样本以至少比信号的奈奎斯特频率大3倍的采样率均匀分布时，这似乎成立。此外，三次样条插值的优势随（采样率）/（奈奎斯特频率）的增加而提高。频率为2 Hz，采样率为6.5 Hz。在采样点之间，插值多项式看起来与实际信号完全相同。
下面，我比较两个近似中的误差。与第一个示例一样，多项式插值在采样间隔的开始和结束附近表现最差。但是，在整个采样间隔内，内插多项式的误差小于三次样条曲线。插值多项式在较小的时间间隔上进行插值时，误差也较小。我发现了一个众所周知的事实吗？如果是，我在哪里可以读到它？
#1 楼
正在讨论的现象是龙格现象。$ \ sin（\ omega t）$的$ n $ th阶导数的最大绝对值为$ \ omega ^ n $。对于Runge函数$ \ frac {1} {25t ^ 2 + 1} $，第n个（偶数）导数的最大绝对值为$ 5 ^ nn！，$，其中$ n！$表示阶乘。这是更快的增长。仅当导数通过增加$ n $增长得太快时，内插误差才可能随着内插阶数的增加而发散。 $ n $的指数还不太快。看看：James F. Epperson，在Runge示例中，《美国数学月刊》，第1卷。 94，1987，第329-341页。
如果一个函数只有连续导数，则竞争方法，即分段多项式样条样条插值，如果有少量固定数量的早期导数有界，则总会收敛在感兴趣的时间间隔内，请参见Wikipedia上有关线性插值的文章作为示例。
如果两种方法都收敛，则如果使用许多样本，则（非逐段）多项式插值的优势在于多项式次数更高，并且可以提供更好的近似值，如您在正弦示例中所看到的。您可能也对L.N Trefethen感兴趣，关于等距点上多项式插值的两个结果，逼近理论杂志，第65卷，第3期，1991年6月，第247-260页。 Quote：
[...]在复杂指数函数的带限插值中
$ e ^ {i \ alpha x} \，（\ alpha \ in \ mathbb {R}），$当且仅当$ \ alpha $小到足以为每个波长提供至少六个点时，误差才会减少为$ 0 $，因为$ n \ infty $。 />
每个波长有6.5个样本。
评论
您是在近似公式还是数据？给定公式，就像您拥有的一样，您始终可以使用更高级的样条曲线，同时还要考虑高阶导数。您还应该检查三次样条将某些“能量”函数最小化的事实。请参阅Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation。因此从某种意义上说，曲率最小化是无法做得更好的。另一种解释是，使用三次样条进行拟合；不近似。 “拟合”意味着要优化的某个指标。@rrogers，我想当要从测量的样本中估计函数并且信号带宽小于采样率的1/6时，内插多项式将是更好的方法。它
@TedErsek：一个定性的考虑：由于其性质，多项式函数以$ \ pm \ infty $为横坐标变量$ \到\ infty $。随着多项式阶数的增加，这种影响更加严重。请注意，在您的第一个示例中，要近似的信号在插值间隔即将结束时衰减为零。这与插值的渐近行为不兼容。第二个图在区间的边缘附近具有陡峭的斜率和非零值，因此您可以获得更好的近似值。这里不是很理论，只是一个观察。
@TedErsek作为解决Ted Ersek评论的实用工具；您是否尝试过有理多项式逼近。顺便说一句：我有一年前的曲线公式估算程序的免费副本，确实很不错。该程序从Beta转到付款，因此我没有最新版本。
@JasonR我想对您发表最后的评论。回到主题，在任何情况下，如果您知道函数，都有en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials提供多项式的统一误差（最小/最大）近似。但是，如果您知道该功能，则可以随时合成一个“匹配过滤器”。