状态空间中描述的系统的初始条件-是否LTI？

#1 楼

我只是一个本科生，所以我的回答可能有点天真，但是据奥本海姆说，不仅仅是线性非零初始条件会导致线性常数系数微分/差分方程成为非LTI。具有固定零初始条件的微分/差分方程也不能为LTI。对于描述因果LTI系统的线性常数系数微分/差分方程，初始条件必须满足初始静止条件：也就是说，直到输入变为非零，输出才会变为非零。

关于您的问题（状态空间表示），请注意，系统的输入为$ u（t）$，输出为$ y（t）$。如果线性系统的“零输入/零输出”属性仅适用于$$ y（t）= C x（t）+ Du（t）$$
，如果$ x（t）= 0 $，仅考虑将$ u（t）$作为系统的输入，但是在我看来，线性度的概念可以扩展到状态空间表示中，以说明状态向量$ x（t）$。无论如何，在讨论微分方程时，Oppenheim提及的初始条件（输出$ y（t）$及其衍生物的条件）与您在问题中引用的初始条件（状态向量的条件）不同$ x（t）$）。再一次，我不知道我是否正确，而且我自己一直对此感到困惑，但这也许可以帮上忙。

#2 楼

如果您查看以下内容的第5章：

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control- and-signal-processing-spring-2010 / readings / MIT6_011S10_notes.pdf

，标题为“ LTI状态空间模型的属性”，公式5.33似乎对初始条件没有问题，或者我知道的任何其他书籍（经纠正），有一本书。除非Oppenheim感到疯狂，否则我倾向于接受他的特征，即初始条件不会因使用术语“零输入线性”而将LTI系统视为“非线性”。在注释的开头（以及在Oppenheim和Shaefer第3版中），LTI系统的给出方式如下： } ^ {\ infty} x [k] h [n -k]
$$
不需要$ h [n] $是因果关系或稳定的。 $ x [n] $不必满足$ x [n] = 0 \; \ text {for} \; n <0 $。

文本中强调指出，一个人需要考虑$ x [n] $的整个历史，而不仅仅是$ n \ ge 0 $。

let $$ x [n] = \ hat {x} [n] + \ tilde {x} [n] $$
其中
$$ \ hat {x} [n] = \ begin {cases} x [n] \; \ text {for} \; n <0 \; \ text {and} \\
0 \; \ text {for} \; n \ ge 0 \ end {cases} $$

and
$$ \ tilde {x} [n] = \ begin {cases} 0 \; \ text {for} \; n <0 \; \ text {and} \; \\ x [n] \; \ text {for} \; n \ ge 0 \ end {cases} $$
通过线性度。

$$
$$
如果$ y [n] $是因果关系，
$$
$$

重要的一点是，初始条件要考虑先前的输入。其中$ n = 0 $被引用为$ x [n] $是任意的，这是时间不变性的另一种表现形式。初始条件并不是使系统烦恼的任意值。如果$ x [n] = 0 $且$ n <0 $，则初始条件为零。

让我们尝试其他事情。假设$ z [n] = \ tilde {x} [n + 1] $（按一个样本前进），并使用$ \ tilde {x} [n] $，则系统为LTI，没有争议。
现在，
$$
y [n] = \ underbrace {z [-1] h [n]} _ {\ text {零输入线性}} + \ underbrace {\ sum_ {k = 0} ^ {n} z [k] h [n -k]} _ {\ text {零状态线性}}，\ quad n \ ge 0
$$
，现在我们有了初始条件。 1个样本的前移会使LTI系统非线性吗？

问题的根源在于，逻辑上的谬误是使用零状态线性的定义并将其应用于零输入情况。