我有一个截止频率为$ \ omega_c $的一阶Butterworth滤波器。则其传递函数为

$$ H（s）= \ frac {\ omega_c} {s + \ omega_c} $$

使用双线性变换找到$ H （z）$（该函数称为什么？），我得到

$$ H（z）= \ frac {\ omega_c} {\ frac {2} {T} \ frac {z- 1} {z + 1} + \ omega_c}
= \ frac {\ omega_c z + \ omega_c} {\ left（\ frac {2} {T} + \ omega_c \ right）z + \ omega_c- \ frac {2} {T}} $$

但是，我无法将这个结果与Matlab所做的调和。无论$ T $的值如何，这似乎都是错误的。我假设下面的B和A是$ H（z）$的系数。

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095


我误解了什么？

评论

MATLAB不使用模数转换。它以数字方式设计滤波器，因此双线性变换的想法可能不适用。
@Phonon：这个答案似乎表明Matlab以某种方式使用了双线性变换。
此处游戏晚了，但z / s / \ omega的所有大写函数H通常称为传递函数。当参数是时间或样本时，称为冲激响应，通常用小写字母h表示。因此，传递函数就是脉冲响应的变换（取决于应用的Z，Fourier，Laplace）。

#1 楼

以下几点：

在进行替换$ s = \ frac {2} {T} \ frac {z-1} {z + 1} $之前，您需要通过以下方式预先调整截止频率替代：

$$
\ omega_ {c，w} = \ frac {2} {T} \ tan（\ omega_c \ frac {T} {2}）
$$

其中$ \ omega_ {c，w} $是弯曲的截止频率。这是必需的，因为双线性变换以非线性方式将Laplace域中的左半平面（用于模拟滤波器设计）映射到$ z $域中的单位圆。因此，当您接近奈奎斯特速率（$ \ pm \ pi $的数字频率）时，模拟滤波器原型的近似值变得不准确。

另外，您要传递给butter的第二个参数函数是归一化的截止频率，而不是采样间隔$ T $。该函数使用的归一化频率在$（0,1）$区间内，并且等于所需截止频率与奈奎斯特速率的比率：

$$
\ omega_n = \ frac {\ omega_c} {2 \ pi \ frac {f_s} {2}}
$$

$$
\ omega_n = \ frac {\ omega_c} {\ pi f_s}
$$

$$
\ omega_n = \ frac {\ omega_c T} {\ pi}
$$$

评论

$ \ begingroup $
谢谢！现在我得到正确的系数。在这里，我在表达式中用$ \ omega_c $代替了$ omega_c，w $，以$ H（z）$表示。之所以可行，是因为我知道截止频率在哪里影响巴特沃斯滤波器。如果我有一个通用滤波器，但只知道$ H（s）$的极点（和零点），该怎么办？我怎么知道要替代哪些值？
$ \ endgroup $
–安德烈亚斯（Andreas）
2011年11月8日在9:31
$ \ begingroup $
因为我想有理$ H（s）$的双线性变换可以只知道采样频率而不知道（归一化）截止频率而完成？
$ \ endgroup $
–安德烈亚斯（Andreas）
2011年11月8日，9：53
$ \ begingroup $
您可以使用双线性变换将$ s $域中的任何系统映射为$ z $域中的近似值。不需要预先翘曲，但需要注意的是，所得离散时间系统只是模拟系统的近似值。对任何感兴趣的频率进行预扭曲可以使您“拉伸”映射，从而使您最关心的频带区域具有尽可能小的原型滤波器失真。
$ \ endgroup $
–Jason R
2011年11月8日14:02

#2 楼

在打开MATLAB butter函数的代码时，我们看到它使用了频率预变形：

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end