相干采样的量化噪声-相位噪声？

#1 楼

我对此有疑问（编辑：此问题后来从问题中删除了）：


只要输入可以合理地假设这些AM和PM噪声分量的分布是一致的信号与采样时钟无关


考虑信号：
$$ \ operatorname {signal}（t）= \ cos（t）+ j \ sin（t） $$
及其量化：
$$ \ operatorname {quantized \ _signal}（t）= \ frac {\ operatorname {round} \ big（N \ cos（t）\ big）} {N } + j \ times \ frac {\ operatorname {round} \ big（N \ sin（t）\ big）} {N} $$

量化步长为$ 1 / N $ I和Q分量（图中的$ N = 5 $）。

图1.信号的轨迹（蓝线）及其量化（黑点），以及它们之间的变形，以查看信号的不同部分被量化的方式，其中$ N = 5 $ 。 “变形”只是一组附加的参数图$ a \ operatorname {signal}（t）+（1-a）\ operatorname {quantized \ _signal}（t）$ at $ a = \ left [\ frac {1} {5}，\ frac {2} {5}，\ frac {3} {5}，\ frac {4} {5} \ right]。$

该阶段的错误是由于量化误差为：

$$ \ operatorname {phase \ _error}（t）= \ operatorname {atan} \ Big（\ operatorname {Im} \ big（\ operatorname {quantized \ _signal}（ t）\ big），\ operatorname {Re} \ big（\ operatorname {quantized \ _signal}（t）\ big）\ Big）\\-\ operatorname {atan} \ Big（\ operatorname {Im} \ big（\运算符名称{信号}（t）\ big），\运算符名称{Re} \ big（\运算符名称{信号} {t} \ big）\ Big）
\\ = \运算符名称{atan} \ Big（\ operatorname {round} \ big（N \ sin（t）\ big），\ operatorname {round} \ big（N \ cos（t）\ big）\ Big）-
\ operatorname {atan} \ big（N \ sin（t），N \ cos（t）\ big）
\\ = \ operatorname {atan} \ Big（\ operatorname {round} \ big（N \ sin（t）\ big），\ operatorname {round} \ big（N \ cos（t）\ big）\ Big）-\ operatorname {mod}（t- \ pi，2 \ pi）+ \ pi $$

减去包装阶段有风险但有效在这种情况下。

图2. $ \ operatorname {phase \ _error}（t）$ for $ N = 5 $。

那是分段线性函数。所有线段都越过零电平，但结束于其他各种电平。这意味着，将$ t $作为统一随机变量，在$ \ operatorname {phase \ _error}（t）的概率密度函数中，接近零的$值被过度表示。因此，$ \ operatorname {phase \ _error}（t）$不能具有均匀的分布。

考虑实际问题，请参见图1，其中具有足够高的$ N $且信号在每个采样间隔内旋转经过多个量化边界的复正弦波频率，采样中的量化误差实际上是固定的伪随机数序列，该序列来自数论怪癖。如果频率是采样频率的倍数，则误差取决于频率，$ N，$和初始相位，在这种情况下，量化误差是一个重复序列，其中不包含所有可能的量化误差价值观。在大$ N $的限制下，I和Q误差的分布是均匀的，并且相位和幅值误差是来自依赖于信号相位的分布的伪随机数。存在相位依赖性是因为矩形量化网格具有方向。

在大的$ N的限制中，相位误差和幅度误差是复数误差的垂直分量。幅度误差可以与无穷小量化步长成比例地表示，相位误差可以与量化步长的$ \ arcsin $成比例地表示。在信号相位$ \ alpha $，幅度误差在角度方向$ \ alpha $，相位误差在角度方向$ \ alpha + \ pi / 2 $。复数量化误差在沿I和Q轴定向的量化步长正方形中均匀分布，坐标角与量化步长成比例表示：

$$ \ big [（1/2，1/2），\ quad（-1/2，1/2），\ quad（-1/2，-1/2），\ quad（1/2，- 1/2）\ big] $$

旋转这些坐标或等效地将它们投影到比例相位误差和比例幅度误差轴上，可以得到相同的平顶分段线性概率密度具有节点的函数：

$$ \ left [\ frac {\ cos（\ alpha）} {2}-\ frac {\ sin（\ alpha）} {2}，\ quad
\ frac {\ cos（\ alpha）} {2} + \ frac {\ sin（\ alpha）} {2}，\ quad
-\ frac {\ cos（\ alpha）} {2} + \ frac {\ sin（\ alpha）} {2}，\ quad
-\ frac {\ cos（\ alpha）} {2}-\ frac {\ sin（\ alpha）} {2} \ right ]
= \ left [\ sqrt {2} \ cos（\ alpha + \ pi / 4），\ quad
\ sqrt {2} \ sin（\ alpha + \ pi / 4），\ Quad
-\ sqrt {2} \ cos（\ alpha + \ pi / 4），\ quad
-\ sqrt {2} \ sin（\ alpha + \ pi / 4）\ right] $图3.给定信号角$ \ alpha $，比例相位误差和比例幅度误差的共享分段线性平顶概率密度函数（PDF）的节点。在$ {alpha \ in \ {-\ pi，-\ pi / 2，0，\ pi / 2，\ pi \} $中，PDF是矩形。一些节点也以$ \ alpha \ in \ {-3 \ pi / 4，-\ pi / 4，\ pi / 4，3 \ pi / 4 \} $合并，给出了三角形PDF和最坏情况的大$ N $渐近估计：1）$ \ sqrt {2} / 2 $量化步长的最大绝对幅值误差和2）$ \ sqrt {2} / 2 $的最大绝对相位误差乘以量化的\\ arcsin $步骤。

在中间阶段，PDF看起来像这样：

图4. $ \ alpha = \ pi / 8。$

如Dan所建议的，PDF也是投影到幅度和相位误差轴上的I和Q误差的矩形PDF的卷积。一个投影的PDF的宽度为$ | \ cos（\ alpha）| $，另一个的宽度为$ | \ sin（\ alpha）| $。它们的合并方差为$ \ cos ^ 2（\ alpha）/ 12 + \ sin ^ 2（\ alpha）/ 12 = 1/12，$统一于$ \ alpha $。

可能存在一些初始阶段的“假性”组合，以及复杂正弦曲线频率与采样频率的有理数比，这对于重复序列中的所有样本仅给出很小的误差。由于图1中误差的对称性，在最大绝对误差意义上，那些频率的优势在于圆上访问的点数是2的倍数，因为需要运气（低误差）只有一半的分数。其余各点的错误与第一个错误相同，并带有符号翻转。 6、4和12的至少倍数具有更大的优势。我不确定确切的规则是什么，因为这似乎并不是事物的倍数。这是关于网格对称性与模运算相结合的东西。然而，伪随机错误是确定性的，因此详尽的搜索显示出最佳的安排。在均方根（RMS）绝对误差意义上找到最佳排列最容易：

位深度，使用正方形量化网格。详尽的搜索伪幸运排列的源代码在答案的结尾。下图）细节，为了比较（浅蓝色），显示RMS绝对量化误差的$ N \ to \ infty $渐近估计，$ \ sqrt {1/6} / N，$ N = 2 ^ k-1时的$， $，其中$ k + 1 $是振荡器的位数。

最突出的误差频率的幅度决不超过RMS绝对误差。对于8位振荡器，一个特别好的选择是这些$ 12 $点大约位于单位圆上：


答案末尾的Octave源代码证实，离散的复杂正弦曲线以递增的角度顺序通过复杂平面上的这些点，仅具有5次谐波失真，与基波相比失真度为$ -91.5 $ dB。

为了获得低RMS绝对量化误差，频率不必像近似相位$ [0、1、2、3、4、5、6、7那样经过这些点。 ，8、9、10、11] \ cdot 2 \ pi / 12 $，则频率为$ 1/12 $乘以采样频率。例如，频率$ 5/12 $乘以采样频率将经过相同的点，但顺序不同：$ [0，5，10，3，8，1，1，6，11，4，4，2，7] \ cdot 2 \ pi / 12 $。我认为这是可行的，因为5和12是互质的。频率（每个样本的相位\\ pi / 2 $）。在正方形网格上，没有其他这样的完美安排。在I轴或Q轴之一被拉伸$ \ sqrt {3} $的六边形网格或非正方形矩形网格上（由此，它等于蜂窝网格上的第二行），相位增量每个样本$ \ pi / 3 $即可完美运行。这样的缩放可以在模拟域中完成。这增加了网格的对称轴数，这导致了对伪幸运排列的大多数有利变化：使用矩形量化网格（其中一个轴的缩放比例为$ \ sqrt {3} $）来设置各种振荡器位深度。可能的RMS绝对误差在正方形网格上为-51.3 dB，在非正方形矩形网格上为-62.5 dB，其中最低RMS-absolute-error伪幸运序列具有以下误差：

图7.长度为30的8位伪幸运序列在IQ平面上的误差值利用了在量化网格中找到的对称轴，该对称轴水平扩展了\\ sqrt {3} $。这些点仅来自围绕对称轴翻转的三个伪幸运复数。

我没有IQ时钟信号的实践经验，所以我不确定什么是重要的。在使用数模转换器（DAC）生成时钟信号的过程中，我怀疑除非使用良好的伪幸运排列，否则具有较低的白噪声基底要比具有较高的谐波噪声频谱更好。来自重复量化误差序列的尖峰（请参阅相干采样和量化噪声分布）。这些频谱尖峰以及白噪声可能会通过寄生电容泄漏，并在系统的其他部分产生不良影响，或影响设备的电磁兼容性（EMC）。作为一个类比，扩频技术通过将频谱尖峰转换为较低峰值的本底噪声来改善EMC。您可以将其整夜运行，以找到至少$ 16 \ le M \ le 100 $的最多16位振荡器的最佳配置。使用IScale = 1找到的第一个示例序列：

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

示例输出描述了使用IScale = sqrt(3)找到的第二个示例序列： />用于测试第一个示例序列的八度代码：

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

用于测试第二个示例序列的八度代码：