但是，如果机器人拿着笔这样的东西，我想让机器人用该笔在目标上标记一个特定点，那么我不在乎笔的方向，只要它垂直于标记的表面即可。
因此，运动学方程将具有无限多种解决方案。
如何从这些解决方案中选择最接近当前配置的联合配置：需要最少移动量的联合配置？
（或根据其他一些类似标准最佳的关节配置，例如，所有关节角度距离其最大值和最大角度最少？）
#1 楼
首先，我们需要定义最佳。由于您没有说出什么是最佳选择，因此大多数人会选择二次表达式。例如，假设您当前的关节角度由矢量$ \ vec {\ alpha} $给出。我们可以考虑将所需的运动减至最小-错误$ \ vec {x} = \ vec {\ alpha}-\ vec {\ alpha} _ {start} $，您可以定义成本函数$ J = \ vec {x } ^ TQ \ vec {x} $用于某个矩阵$ Q $。我们通常使用对角矩阵，但是任何正定矩阵都可以。在具有两个关节角的简化示例中，如果关节$ a $具有更便宜的电机（也许更靠近末端执行器） ，我们的成本函数可能为
$ J = \ left [\ begin {matrix} x_a \\ x_b \ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} 1＆0 \\ 0＆2 \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} x_a＆x_b \ end {matrix} \ right] $，即。关节$ b $的运动成本是关节$ a $的两倍。
现在，运动方程是矩阵公式，在Denavit-Hartenberg表示中可能是：
$ \ prod {T_i} = \ left [\ begin {matrix} 1＆0＆0＆x \\ 0＆1＆0＆y \\ 0＆0＆1＆z \\ 0＆0＆0＆0＆1 \ end {matrix} \ right] $，其中右侧代表位置$（x，y， z）$和方向（当前设置为零旋转），给定关节角度。
由于我们不在乎方向，只在意位置，因此我们可以截断最后一个的前三列转换矩阵，以及第一个转换矩阵的最后一行。我们可以等效地将此公式表示为：
$ \ left [\ begin {matrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \ end {matrix} \ right] \ prod {T_i} \ left [\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix} \ right] $
乘以左侧，我们得到三个方程。如果参数是线性的，则很容易求解。如果所有执行器都是线性执行器，就是这种情况。在这种情况下，问题实际上是二次程序。我们可以重新排列左侧以获得等式：
$ K \ vec {x} = \ left [\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix} \ right] $，对于某些矩阵$ K $。
二次程序是一个问题，可以用以下形式表示：
最小化$ J = \ frac {1} {2} \ vec {x} ^ TQ \ vec {x} + \ vec {c} ^ T \ vec {x} $
以$ A \ vec {x为准} \ leq \ vec {b} $，$ E \ vec {x} = \ vec {d} $
要解决此问题，您可以使用多种算法，例如，内部点，活动集，...。只要找到一个合适的库，它就会为您解决。
非线性方程组更难求解。这称为非线性编程，但是如果您有旋转关节，它就是您所拥有的。
基本上，您具有矩阵函数，而不是矩阵方程。
在$ \ vec {h}（x）= 0 $，$ \ vec {g}（x）\ leq 0 $的情况下，将$ f（x）$最小化（如有必要，请重新安排以使RHS约束为零）
用于解决此问题的算法甚至更为复杂，但包括内部点，顺序二次规划（SQP），活动集，信任区反射算法。显然，关于这些算法如何工作的解释非常冗长，我将其排除在此答案范围之外。可以说，仅用于二次编程的算法内容本身就可以是一门完整的课程。
您应该找到一个解决问题的库，这将需要很长时间编码高效的实现，高效的实现一次可以处理100个（或更多）变量。例如，如果您使用MATLAB，则可以从“优化工具箱”中找到有关如何使用函数fmincon的文档。
要在线解决该问题，您可能需要C ++或其他本机实现，例如NLopt。请注意，这可能不是微控制器可以快速解决的问题，并且许多库可能还具有其他依赖关系，这些依赖关系在微控制器上不易使用（因为它们是供计算机使用的）。
如果您不担心效率，只是想自己编写一些代码，那么假设您可以调用一个函数来解决运动学逆问题，则只需执行梯度下降法即可。例如，任意选择一个随机的起始方向，解决反问题，然后检查成本函数。然后，您可以使用扰动分析来检查如何改变方向。例如，如果您检查当前方向周围的相似方向（即立方网格中的8个点），则可以得到成本函数在各个方向上的变化的二阶近似值。
二阶近似（由于它是多元的-定向为3维，所以称为Hessian矩阵），您可以找到成本函数的梯度的零交叉点（即预测的局部最小值）。
使用新的预测方向，只需再次将其放置在逆求解器中，然后重复进行直到精度足够为止。
请注意，这可能不太有效，因为逆运动学问题本身必须迭代求解（因此您反复使用本身需要一段时间才能求解的函数）。此外，所涉及的代码可能还不如成熟的优化算法，但是它仍然是相当可观的，并且对时间的投入并不小。
使用这两种方法（作为非线性程序形式求解或使用函数迭代求解反问题），如果存在多个局部极小值，则求解可能不是最佳的。在这种情况下，您可以尝试使用各种方法来找到全局最小值。即使使用非线性编程求解器，也应使用初始值（例如，关节角度）为它播种。您可以使用各种方式生成的种子重复运行任一方法：
随机重启（随机生成）
基于网格的
或其他自定义方法。
但是请注意，如果有很多最小值，则没有什么好方法可以保证找到全局最小值。您只能提高机会。
#2 楼
由于问题是关于工业机器人的，因此我们可能没有机器人的动力学模型，因此我假设我们正在寻找仅优化运动学准则的解决方案。机器人机器人具有逆运动学的封闭形式解决方案，但不幸的是，末端执行器具有额外的旋转自由度，这意味着机器人具有7个自由度。但是，由于这仅仅是一个自由度，因此它并没有像人们想象的那么重要。
对于这种几乎非冗余的机器人，一个常见的技巧是锁定额外的自由度并解决分析剩余的关节值。假设我们为6自由度机器人编写了一个封闭形式的IK解算器，该解算器平均返回$ 0.05 $ ms的解。通过从$ 1 $迭代到$ 360 $，您可以找到在大约$ 18 $ ms内离散化笔角$ 1 ^ \ circ $的最佳解决方案，考虑到该应用程序可能绰绰有余。
如果大多数时候笔只移动一点（例如画线时），另一个加快搜索速度的技巧是使用数字IK，例如伪逆方法：
让$ q_1 $为机器人的当前配置，让$ J $为机器人的Jacobian，让$ \ Delta x $为目标相对于当前末端执行器变换的位移。对$ \ Delta q $求解$ \ Delta x = J \，\ Delta q $并计算新配置$ q_2 = q_1 + \ Delta q $。我在这里跳过的细节，但解决方案$ \三角洲q $应尽量减少$ \ | \三角洲q \ | $的正确所选指标
这是为7做自由度机械手，并再次应。只需要几分之一毫秒。尽管$ q_2 $可能不是有效的配置（联合值可能超出范围）并且可能不是准确的IK解决方案（不过，您可以采取更多的伪逆步骤），但在大多数情况下，这是一个不错的起点使用封闭形式的求解器进行搜索。
#3 楼
有一个很好的封闭形式。假设我们不在乎$ r_z $是什么（即我们不在乎如何更改它）。$$
\ mathbf {J} ^ {-1} \ dot {\ mathbf {X}} =
\ dot {\ mathbf {\ Theta}} =
\ begin {bmatrix}
\ vec {j_ {1}}和\ vec { j_ {2}}＆\ vec {j_ {3}}＆\ vec {j_ {4}}＆\ vec {j_ {5}}＆\ vec {j_ {6}}
\ end {bmatrix}
\开始{bmatrix}
\ dot {x} \\
\ dot {y} \\
\ dot {z} \\
\ dot {r_x } \\
\ dot {r_y} \\
\ dot {r_z}
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
\ dot {\ theta_1} \\
\ dot {\ theta_2} \\
\ dot {\ theta_3} \\
\ dot {\ theta_4} \\
\ dot {\ theta_5} \\
\ dot {\ theta_6} \\
\ end {bmatrix}
$$
其中$ \ vec {j_ {i}} $是$ \ mathbf {J} ^ {-1} $的$ i ^ {th} $列。
我们可以将$ \ dot {\ mathbf {\ Theta}} $分解为依赖于$ \的部分点{r_z} $和不包含的部分。
$$
\ dot {\ mathbf {\ Theta}} =
\ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ { \ dot {x} \ dots \ dot {r_y}} + \ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {r_z}}
\\
\ dot {\ mathbf {\ Theta }} _ {\ dot {r_z}} =
\ vec {j_ {6}}
\ dot {r _z}
$$
因此，现在游戏已经成为了，让我们最小化
$$
（\ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {x} \点\ dot {r_y}} + \ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {r_z}}）^ T
D（\ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot { x} \ dots \ dot {r_y}} + \ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {r_z}}）
$$
对于某些对角矩阵$ D $，如ronalchn所说以上。我将使用$ A = \ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {x} \ dots \ dot {r_y}} $和$ B = \ dot {\ mathbf {\ Theta}} _ {\ dot {r_z} ^ *} $以便于查看。
我们可以将其扩展为
$$
A ^ TDA + 2B ^ TDA + B ^ TDB \ \
\ text {or} \\
A ^ TDA + 2 \ dot {r_z} \ vec {j_ {6}} ^ TDA + \ dot {r_z} ^ 2 \ vec {j_ {6} } ^ TD \ vec {j_ {6}}
$$
现在我们有一个简单的方程可以区分$ \ dot {r_z} $。我们找到关于$ \ dot {r_z} $的导数并将其设置为$ 0 $。
$$
2 \ vec {j_ {6}} ^ TDA + 2 \ dot {r_z} \ vec {j_ {6}} ^ TD \ vec {j_ {6}} = 0 \\
\ dot {r_z} = \ frac {-\ vec {j_6} ^ TDA} {\ vec {j_6} ^ TD \ vec {j_6}}
$$
这样可以最小化两个姿势之间的关节角度“距离”。